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設(shè)函數(shù)f（x)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證存在ξ，η，ξ∈（a，b)，使得

f'(ξ)=e^ξ-ηf'(η)。

參考答案：這個(gè)問(wèn)題的表述似乎有誤，因?yàn)榻o出的等式 f'(ξ)=e^(ξ-η)f'(η) 無(wú)法直接證明，因?yàn)橛覀?cè)的指數(shù)函數(shù) e^(ξ-η) 沒(méi)有給出明確的定義域和值域，且沒(méi)有給出 ξ 和 η 之間的關(guān)系。不過(guò)，我們可以嘗試證明一個(gè)類似的結(jié)論，即存在 ξ ∈ (a, b) 使得 f'(ξ) = e^(ξ-η)f'(η) 對(duì)于某個(gè) η ∈ (a, b) 成立。為了證明這個(gè)結(jié)論，我們可以使用拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem），該定理指出，如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a, b] 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一個(gè)點(diǎn) c ∈ (a, b)，使得： f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) 現(xiàn)在，我們考慮函數(shù) g(x) = f(x) - e^(x-η)f(η)，其中 η 是區(qū)間 [a, b] 內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn)。函數(shù) g(x) 在 [a, b] 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)。根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一個(gè)點(diǎn) ξ ∈ (a, b)，使得： g'(ξ) = (g(b) - g(a)) / (b - a) 計(jì)算 g(x) 的導(dǎo)數(shù)，我們得到： g'(x) = f'(x) - e^(x-η)f'(η) 將 ξ 代入 g'(ξ)，我們得到： g'(ξ) = f'(ξ) - e^(ξ-η)f'(η) 現(xiàn)在，我們來(lái)計(jì)算 g(b) 和 g(a)： g(b) = f(b) - e^(b-η)f(η) g(a) = f(a) - e^(a-η)f(η) 將 g(b) 和 g(a) 代入拉格朗日中值定理的等式中，我們得到： f'(ξ) - e^(ξ-η)f'(η) = (f(b) - e^(b-η)f(η) - (f(a) - e^(a-η)f(η))) / (b - a) 簡(jiǎn)化上面的等式，我們得到： f'(ξ) = (f(b) - f(a)) / (b - a) + e^(ξ-η)f'(η) 注意到 (f(b) - f(a)) / (b - a) 是 f(x) 在區(qū)間 [a, b] 上的平均變化率，根據(jù)拉格朗日中值定理，它等于 f'(c) 對(duì)于某個(gè) c ∈ (a, b)。因此，我們可以將上式重寫為： f'(ξ) = f'(c) + e^(ξ-η)f'(η) 現(xiàn)在，我們需要選擇 η 使得 e^(ξ-η)f'(η) 與 f'(c) 相關(guān)。如果我們選擇 η = c，那么我們有： f'(ξ) = f'(c) + e^(ξ-c)f'(c) 由于 e^(ξ-c) 是正數(shù)，我們可以選擇 ξ 使得 e^(ξ-c) = 1，即 ξ = c。這樣，我們得到： f'(ξ) = f'(c) + f'(c) = 2f'(c) 這就證明了存在 ξ ∈ (a, b)，使得 f'(ξ) 是 f'(c) 的兩倍，其中 c 是區(qū)間 [a, b] 內(nèi)的某個(gè)點(diǎn)。然而，這并不是原問(wèn)題所要求的結(jié)論，因?yàn)樵瓎?wèn)題中的指數(shù)函數(shù) e^(ξ-η) 沒(méi)有給出明確的定義域和值域，且沒(méi)有給出 ξ 和 η 之間的關(guān)系。如果原問(wèn)題的意圖是證明存在 ξ 和 η 在 (a, b) 內(nèi)，使得 f'(ξ) = e^(ξ-η)f'(η)，那么我們需要更多的信息或者一個(gè)不同的方法來(lái)證明這個(gè)結(jié)論。如果可以提供更多的背景信息或者問(wèn)題的詳細(xì)描述，我們可能能夠提供一個(gè)更準(zhǔn)確的解答。

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