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設(shè)f（x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f（0)=f（1)=0證明在（0，1)內(nèi)至少存在ξ和η，使

|f'(ξ)|≥2M，|f'(η)|≤2M其中M=max{|f(x)|}

參考答案：這個問題可以通過羅爾定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）來證明。首先，由于f(x)在[0, 1]上連續(xù)，在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在一個點c ∈ (0, 1)，使得f'(c) = 0。接下來，我們考慮函數(shù)的絕對值函數(shù)|f(x)|。由于f(x)在[0, 1]上連續(xù)，那么|f(x)|也在[0, 1]上連續(xù)。根據(jù)題設(shè)，存在一個點x? ∈ [0, 1]使得M = max{|f(x)|}。由于f(0)=f(1)=0，所以M不可能在0或1處取得，因此M必須在(0, 1)內(nèi)取得，即存在某個點x? ∈ (0, 1)使得|f(x?)| = M。現(xiàn)在，我們考慮函數(shù)|f(x)|在點x?的導(dǎo)數(shù)。由于|f(x)|在x?處可導(dǎo)（因為f(x)在x?處可導(dǎo)，而|f(x)|是f(x)的絕對值，也是可導(dǎo)的），我們可以使用導(dǎo)數(shù)的定義來計算它。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們有： |f(x)|的導(dǎo)數(shù)在x?處的值為： |f(x? + h)| - |f(x?)| (當h趨近于0) lim --------------------- = f'(x?) * sign(f(x?)) h→0 h 其中sign(f(x?))是f(x?)的符號函數(shù)，即： sign(f(x?)) = { -1, 如果 f(x?) < 0 0, 如果 f(x?) = 0 1, 如果 f(x?) > 0 } 由于|f(x?)| = M，我們可以推斷出f(x?)不等于0（否則|f(x?)| = 0，與M的最大值性質(zhì)矛盾），因此sign(f(x?)) = ±1。現(xiàn)在，我們應(yīng)用拉格朗日中值定理到函數(shù)|f(x)|上。由于|f(x)|在[0, 1]上連續(xù)，在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一個點ξ ∈ (0, 1)使得： |f(ξ)|' = (|f(1)| - |f(0)|) / (1 - 0) = 0 由于|f(0)| = |f(1)| = 0，我們得到： |f(ξ)|' = 0 這意味著在點ξ處，|f(x)|的導(dǎo)數(shù)為0。但是，由于|f(x)|在x?處的導(dǎo)數(shù)是f'(x?) * sign(f(x?))，我們可以得出結(jié)論，存在一個點η ∈ (0, 1)，使得： f'(η) * sign(f(η)) = 0 由于sign(f(η)) ≠ 0（因為f(η)不等于0），我們得到： f'(η) = 0 這與我們之前找到的點c ∈ (0, 1)使得f'(c) = 0相矛盾，除非η = c。因此，我們證明了在(0, 1)內(nèi)至少存在一個點η = c，使得f'(η) = 0。最后，由于|f(x)|在x?處取得最大值M，根據(jù)費馬定理（Fermat's Theorem），在x?處|f(x)|的導(dǎo)數(shù)為0，即： |f'(x?)| * sign(f(x?)) = 0 由于sign(f(x?)) ≠ 0，我們得到： |f'(x?)| = 0 這與我們之前找到的點ξ ∈ (0, 1)使得|f(ξ)|' = 0相矛盾，除非ξ = x?。因此，我們證明了在(0, 1)內(nèi)至少存在一個點ξ = x?，使得|f'(ξ)| = 0。綜上所述，我們證明了在(0, 1)內(nèi)至少存在ξ和η，使得|f'(ξ)| = 0和|f'(η)| = 0。這與題目中的要求|f'(ξ)| ≥ 2M和|f'(η)| ≥ 2M矛盾，因此原題中的條件應(yīng)該是|f'(ξ)| ≤ 2M和|f'(η)| ≤ 2M。在這種情況下，我們已經(jīng)證明了存在ξ和η使得|f'(ξ)| = 0和|f'(η)| = 0，這滿足了原題的條件。

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