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設(shè)f（x)在閉區(qū)間[0，1]上可微，對于[0，1]上的每一個x，0＜f（x)＜1且f'（x)≠1,試證在（0，1)內(nèi)有且僅有一個x，使f（x)=x

參考答案：要證明在區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)存在唯一的 x 使得 f(x) = x，我們可以使用羅爾定理（Rolle's Theorem）的一個推廣形式，即中值定理（Mean Value Theorem）。首先，我們考慮兩個特殊的點： 1. 點 a = 0，此時 f(0) = x，由于 0 < f(0) < 1，我們可以得出 f(0) ≠ 0。 2. 點 b = 1，此時 f(1) = x，由于 0 < f(1) < 1，我們可以得出 f(1) ≠ 1。現(xiàn)在我們來分析函數(shù) g(x) = f(x) - x 在區(qū)間 [0, 1] 上的性質(zhì)： - g(0) = f(0) - 0 > 0，因為 0 < f(0) < 1。 - g(1) = f(1) - 1 < 0，因為 0 < f(1) < 1。由于 f(x) 在閉區(qū)間 [0, 1] 上連續(xù)，在開區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)可微，那么 g(x) 也在閉區(qū)間 [0, 1] 上連續(xù)，在開區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)可微。根據(jù)介值定理（Intermediate Value Theorem），因為 g(0) > 0 且 g(1) < 0，必然存在某個 c ∈ (0, 1) 使得 g(c) = 0。即 f(c) - c = 0，從而 f(c) = c。現(xiàn)在我們證明了在區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)至少存在一個 x 使得 f(x) = x。接下來，我們需要證明這樣的 x 是唯一的。假設(shè)存在兩個不同的點 x1 和 x2，使得 f(x1) = x1 且 f(x2) = x2。不失一般性，假設(shè) x1 < x2。根據(jù)中值定理，存在某個點 c ∈ (x1, x2) 使得： f'(c) = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1) 由于 f(x1) = x1 且 f(x2) = x2，我們有： f'(c) = (x2 - x1) / (x2 - x1) = 1 但是題目條件告訴我們對于區(qū)間 [0, 1] 上的每一個 x，都有 f'(x) < 1。這與我們剛才得出的 f'(c) = 1 矛盾。因此，我們的假設(shè)不成立，即不存在兩個不同的點 x1 和 x2 使得 f(x1) = x1 且 f(x2) = x2。綜上所述，我們證明了在區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)存在唯一的 x 使得 f(x) = x。

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