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設f（x)，g（x)在（-∞，+∞)內(nèi)可導，且對一切x都有
f'(x)g(x)≠f(x)g'(x)證明：方程f(x)=0的任何兩個不同的根之間必有g(x)=0的根
參考答案：
要證明方程f(x)=0的任何兩個不同的根之間必有g(x)=0的根，我們可以使用羅爾定理（Rolle's Theorem）。 首先，假設x1和x2是f(x)=0的兩個不同的根，即f(x1)=f(x2)=0，并且x1 < x2。由于f(x)在(-∞, +∞)內(nèi)可導，根據(jù)羅爾定理，如果一個函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，并且在兩端點取相同的值，即f(a)=f(b)，那么至少存在一個點c∈(a, b)，使得f'(c)=0。 現(xiàn)在，我們考慮函數(shù)h(x)=f(x)g(x)。由于f'(x)g(x) > f(x)g'(x)，我們可以推斷出h'(x) > 0（因為f'(x)g(x) - f(x)g'(x) > 0，即h'(x) > 0）。這意味著函數(shù)h(x)在(-∞, +∞)上是嚴格單調(diào)遞增的。 由于f(x1)=f(x2)=0，我們有h(x1)=f(x1)g(x1)=0*g(x1)=0和h(x2)=f(x2)g(x2)=0*g(x2)=0。由于h(x)是嚴格單調(diào)遞增的，且h(x1)=h(x2)，根據(jù)介值定理（Intermediate Value Theorem），在x1和x2之間必須存在至少一個點c，使得h(c)在h(x1)和h(x2)之間，即h(c)=0。 但是，由于h(x)在(-∞, +∞)上嚴格單調(diào)遞增，且h(x1)=h(x2)=0，這意味著h(x)在x1和x2之間不可能再次為零，除非g(c)=0。因為如果g(c)不為零，那么由于h(x)是f(x)和g(x)的乘積，h(x)在x1和x2之間不可能為零（因為f(x)在x1和x2之間為零，而g(x)不為零）。 因此，我們可以得出結論：在f(x)=0的任何兩個不同的根x1和x2之間，必有g(x)=0的根。這就完成了證明。
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