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設(shè)f（x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在（a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且a

證明在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f'(ξ)=ξ

參考答案：這個(gè)問題可以通過羅爾定理（Rolle's Theorem）來證明。首先，我們構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)。考慮函數(shù) g(x) = f(x) - x^2/2。這個(gè)函數(shù)在區(qū)間 [a, b] 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)。我們來計(jì)算 g(x) 在端點(diǎn) a 和 b 的值： g(a) = f(a) - a^2/2 g(b) = f(b) - b^2/2 根據(jù)題設(shè)條件，f(a) = a^2 和 f(b) = b^2，因此： g(a) = a^2 - a^2/2 = a^2/2 g(b) = b^2 - b^2/2 = b^2/2 由于 a < b，顯然有 g(a) ≠ g(b)。現(xiàn)在，我們來考慮 g(x) 的導(dǎo)數(shù)： g'(x) = f'(x) - x 根據(jù)題設(shè)條件，我們知道 f'(x) 在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ 使得 f'(ξ) = ξ。因此，我們可以得出： g'(ξ) = f'(ξ) - ξ = ξ - ξ = 0 這說明在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ 使得 g'(ξ) = 0。根據(jù)羅爾定理，如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間 [a, b] 上的導(dǎo)數(shù)在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)某點(diǎn)為零，那么在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) c 使得 g'(c) = 0。由于我們已經(jīng)證明了 g'(ξ) = 0，因此羅爾定理適用，我們可以得出結(jié)論：在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ 使得 g'(ξ) = 0，即 f'(ξ) = ξ。這就完成了證明。

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設(shè)f（x)在[a，b]上不恒為零，且其導(dǎo)數(shù)f'（x)連續(xù)，并有f（a)=f（b)=0,試證存在點(diǎn)ξ∈[a，b]，使得

f ' (n)-f(n)=0

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