亚洲午夜激情视频,亚洲男人天堂2020

設(shè)函數(shù)f（x)在[a，b]上滿足：

①f(a)=f(b)=0
②f"(x)+f'(x)g(x)-f(x)=0，其中g(shù)(x)為任意一個函數(shù)證明：f(x)在[a，b]上恒等于零
分析如果能依條件證明f(x)在[a，b]上的最大值M與最小值m都等于零，則可證明f(x)在[a，b]上恒等于零

參考答案：首先，我們來分析題目中給出的條件和目標。條件： 1. \( f(a) = f(b) = 0 \) 2. \( f'(x)g(x) - f(x) = 0 \) 目標：證明 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上恒等于零。證明過程：首先，我們考慮函數(shù) \( f(x) \) 的導(dǎo)數(shù) \( f'(x) \)。根據(jù)條件2，我們有： \[ f'(x)g(x) = f(x) \] 現(xiàn)在，我們定義一個新的函數(shù) \( h(x) \)，它是 \( f(x) \) 除以 \( g(x) \) 的結(jié)果（假設(shè) \( g(x) \neq 0 \)）： \[ h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \] 對 \( h(x) \) 求導(dǎo)，我們得到： \[ h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)}{g(x)^2} \] 根據(jù)條件2，我們知道 \( f'(x)g(x) - f(x) = 0 \)，因此： \[ h'(x) = 0 \] 這意味著 \( h(x) \) 是一個常數(shù)函數(shù)。設(shè) \( h(x) = C \)，那么我們有： \[ f(x) = Cg(x) \] 現(xiàn)在，我們利用條件1，即 \( f(a) = f(b) = 0 \)，來確定常數(shù) \( C \)： \[ f(a) = Cg(a) = 0 \] \[ f(b) = Cg(b) = 0 \] 由于 \( g(x) \) 是任意函數(shù)，我們可以選擇 \( g(a) \neq 0 \) 和 \( g(b) \neq 0 \)（如果 \( g(x) \) 在 \( a \) 或 \( b \) 處為零，那么 \( f(x) \) 在這些點的值將自動為零，但這并不影響我們的證明）。因此，我們可以得出 \( C = 0 \)。所以，對于所有的 \( x \) 在區(qū)間 \([a, b]\) 上，我們有： \[ f(x) = 0 \cdot g(x) = 0 \] 這證明了 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上恒等于零。如果 \( g(x) \) 在 \( a \) 或 \( b \) 處為零，那么 \( f(x) \) 在這些點的值為零，但這不影響 \( f(x) \) 在區(qū)間內(nèi)其他點的值。由于 \( f(x) \) 在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在端點為零，根據(jù)介值定理，\( f(x) \) 在區(qū)間內(nèi)的任意點也必須為零，否則 \( f(x) \) 將在某處取得非零的最大值或最小值，這與 \( f(a) = f(b) = 0 \) 矛盾。因此，無論 \( g(x) \) 的具體形式如何，\( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上恒等于零。

點擊查看答案

你可能感興趣的試題

設(shè)函數(shù)f（x)在[a，b]上連續(xù)、可導(dǎo)且f（a)=0，若存在正常數(shù)k，使得|f'（x)|≤k|f（x)|證明：在[a，b]上f（x)恒等于零。

點擊查看答案

設(shè)函數(shù)f（x)在[0，a]上二階可導(dǎo)，并有|f"（x)|≤M，且f（x)在（0，a)內(nèi)取得最大值，證明

|f'(0)|+|f'(a)|≤Ma

點擊查看答案