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設(shè)函數(shù)f（x)在[a，b]上連續(xù)、可導(dǎo)且f（a)=0，若存在正常數(shù)k，使得|f'（x)|≤k|f（x)|證明：在[a，b]上f（x)恒等于零。

參考答案：要證明在區(qū)間 [a, b] 上 f(x) 恒等于零，我們可以使用反證法。假設(shè)存在某個點 c ∈ (a, b)，使得 f(c) ≠ 0。不失一般性，我們可以假設(shè) f(c) > 0（如果 f(c) < 0，證明過程類似，只需將不等式方向反轉(zhuǎn)）。由于 f(a) = 0，根據(jù)介值定理，存在某個點 d ∈ (a, c)，使得 f(d) = 0。因為 f(x) 在 [a, b] 上連續(xù)，所以 f(x) 在 [a, d] 上也連續(xù)。現(xiàn)在，我們考慮函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [a, d] 上的性質(zhì)。由于 f(a) = 0，我們可以將不等式 |f'(x)| ≤ k|f(x)| 改寫為： - k|f(x)| ≤ f'(x) ≤ k|f(x)| 由于 f(x) 在 [a, d] 上連續(xù)，并且 f(a) = 0，根據(jù)均值定理，存在某個點 ξ ∈ (a, d)，使得： f'(ξ) = (f(d) - f(a)) / (d - a) = 0 / (d - a) = 0 但是，由于 f(c) > 0，那么在 (c, b] 上 f(x) > 0。因此，對于所有 x ∈ (c, b]，我們有 |f(x)| = f(x)。由于 f(x) 在 [a, b] 上可導(dǎo)，那么 f'(x) 在 (c, b] 上也存在。現(xiàn)在，我們考慮 f(x) 在 (c, b] 上的性質(zhì)。由于 f(x) > 0，不等式 |f'(x)| ≤ k|f(x)| 可以改寫為： - k f(x) ≤ f'(x) ≤ k f(x) 由于 f'(x) 在 (c, b] 上有界，根據(jù)微積分基本定理，f(x) 在 (c, b] 上應(yīng)該是單調(diào)的。但是，由于 f'(ξ) = 0，這意味著 f(x) 在 ξ 點的導(dǎo)數(shù)為零，因此 f(x) 在 ξ 點達到局部極小值。由于 f(x) 在 (c, b] 上單調(diào)，且 f(x) > 0，這意味著 f(x) 在 (c, b] 上不可能再次回到零，這與 f(a) = 0 矛盾。因此，我們的假設(shè) f(c) ≠ 0 是錯誤的。所以，對于所有 x ∈ [a, b]，f(x) 必須恒等于零。這就完成了證明。

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