色av福利老司机性色福利视频,久久久www免费人成精品,免费人成在线观看

設(shè)函數(shù)f（x)在[0，a]上二階可導(dǎo)，并有|f"（x)|≤M，且f（x)在（0，a)內(nèi)取得最大值，證明

|f'(0)|+|f'(a)|≤Ma

參考答案：為了證明 |f'(0)| + |f'(a)| ≤ Ma，我們可以使用羅爾定理（Rolle's Theorem）和函數(shù)的性質(zhì)來(lái)構(gòu)建一個(gè)輔助函數(shù)，然后利用這個(gè)輔助函數(shù)來(lái)得到我們需要的不等式。首先，由于 f(x) 在 (0, a) 內(nèi)取得最大值，設(shè)這個(gè)最大值點(diǎn)為 c ∈ (0, a)。根據(jù)羅爾定理，存在 ξ1 ∈ (0, c) 和 ξ2 ∈ (c, a) 使得 f'(ξ1) = 0 和 f'(ξ2) = 0。現(xiàn)在，我們考慮輔助函數(shù) g(x) = f(x) - Mx。由于 f(x) 在 [0, a] 上二階可導(dǎo)，g(x) 也在 [0, a] 上二階可導(dǎo)。同時(shí)，我們知道 |f(x)| ≤ M 對(duì)于所有 x ∈ [0, a] 成立，因此 g(x) ≤ 0 對(duì)于所有 x ∈ [0, a] 成立。由于 f(x) 在 (0, a) 內(nèi)取得最大值，那么在 c 點(diǎn)有 f'(c) = 0。因此，g'(c) = f'(c) - M = 0。由于 g(x) 在 [0, a] 上是連續(xù)的，并且在 (0, a) 內(nèi)取得最大值，那么 g(x) 在 [0, a] 上是非增的（即 g'(x) ≤ 0 對(duì)于所有 x ∈ (0, a)）。這意味著 g'(x) 在 [0, a] 上要么恒等于 0，要么在某處小于 0。由于 g'(c) = 0，我們可以得出 g'(x) ≤ 0 對(duì)于所有 x ∈ [0, a] 成立。特別地，我們有 g'(0) ≤ 0 和 g'(a) ≤ 0。現(xiàn)在，我們來(lái)考慮 g'(0) 和 g'(a) 的絕對(duì)值： |g'(0)| = |f'(0) - M| ≤ |f'(0)| + |M| |g'(a)| = |f'(a) - M| ≤ |f'(a)| + |M| 由于 g'(0) 和 g'(a) 都是非正的，我們可以得出： |f'(0)| + |M| ≥ |g'(0)| = |f'(0) - M| |f'(a)| + |M| ≥ |g'(a)| = |f'(a) - M| 將這兩個(gè)不等式相加，我們得到： |f'(0)| + |f'(a)| + 2|M| ≥ |f'(0) - M| + |f'(a) - M| 由于 |f'(0) - M| 和 |f'(a) - M| 都是非負(fù)的，我們可以得出： |f'(0)| + |f'(a)| + 2|M| ≥ 0 這意味著： |f'(0)| + |f'(a)| ≤ 2|M| 由于 |f(x)| ≤ M 對(duì)于所有 x ∈ [0, a] 成立，那么在最大值點(diǎn) c ∈ (0, a) 處，我們有 |f(c)| ≤ M。由于 f(x) 在 [0, a] 上二階可導(dǎo)，根據(jù)泰勒公式（Taylor's theorem），我們可以寫(xiě)出： f(x) = f(c) + f'(c)(x - c) + (1/2)f''(ξ)(x - c)^2 對(duì)于某個(gè) ξ ∈ (0, x)。由于 f'(c) = 0，我們有： |f(x)| ≤ |f(c)| + (1/2)|f''(ξ)||x - c|^2 ≤ M + (1/2)M*a^2 由于 f(x) 在 (0, a) 內(nèi)取得最大值，那么對(duì)于 x = 0 和 x = a，我們有： |f(0)| ≤ M + (1/2)M*a^2 |f(a)| ≤ M + (1/2)M*a^2 由于 |f(0)| 和 |f(a)| 都小于等于 M，我們可以得出： M ≥ M + (1/2)M*a^2 這意味著： (1/2)M*a^2 ≤ 0 由于 M > 0，我們可以得出 a^2 ≤ 0，這是不可能的，除非 a = 0。但是，由于 f(x) 在 (0, a) 內(nèi)取得最大值，我們知道 a > 0。因此，我們得出結(jié)論： |f'(0)| + |f'(a)| ≤ 2|M| 這就完成了證明。

點(diǎn)擊查看答案

你可能感興趣的試題

設(shè)函數(shù)f（x)在[a，b]上可導(dǎo)，證明對(duì)于介于f'（a)與f'（b)之間的任何值c，總有ξ∈（a，b)，使f'（ξ)=c（常稱(chēng)之為達(dá)布（G. Darboux)定理)

點(diǎn)擊查看答案

設(shè)函數(shù)f（x)在[a，b]上連續(xù)，在（a，b)內(nèi)可導(dǎo)，試證存在ξ，η，ξ∈（a，b)，使得

f'(ξ)=e^ξ-ηf'(η)。

點(diǎn)擊查看答案