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求微分方程xy"+2y'=1滿足y（1)=2y'（1)，且當(dāng)x→0時，y有界的特解，

參考答案：給定的微分方程是： \[ xy' + 2y = 1 \] 首先，我們可以通過分離變量法來解這個微分方程。將方程重寫為： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2y}{x} \] 然后，將變量分離： \[ \frac{dy}{1 - 2y} = \frac{dx}{x} \] 接下來，兩邊積分： \[ \int \frac{dy}{1 - 2y} = \int \frac{dx}{x} \] 積分后得到： \[ -\frac{1}{2} \ln |1 - 2y| = \ln |x| + C \] 其中C是積分常數(shù)。現(xiàn)在，我們可以解出y： \[ \ln |1 - 2y| = -2 \ln |x| - 2C \] \[ |1 - 2y| = e^{-2 \ln |x| - 2C} \] \[ |1 - 2y| = e^{-2 \ln |x|} \cdot e^{-2C} \] \[ |1 - 2y| = \frac{1}{x^2} \cdot e^{-2C} \] 由于當(dāng)x→0時，y有界，我們可以推斷出y不能趨向于無窮大，因此我們可以去掉絕對值符號： \[ 1 - 2y = \pm \frac{1}{x^2} \cdot e^{-2C} \] 考慮到y(tǒng)(1)=2y'(1)，我們可以將這個條件應(yīng)用到原微分方程中。首先，我們找到y(tǒng)'(1)： \[ y'(1) = \frac{1 - 2y(1)}{1} \] 由于y(1)是y的值，我們先用y表示y(1)，然后用y'(1)表示y'(1)： \[ y(1) = \frac{1}{2} \] \[ y'(1) = 1 - 2y(1) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 \] 現(xiàn)在，我們回到原方程，將x=1和y'(1)=0代入： \[ 1 \cdot y'(1) + 2y(1) = 1 \] \[ 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] \[ 1 = 1 \] 這個條件是滿足的，因此我們不需要進一步調(diào)整?，F(xiàn)在，我們需要找到一個特解，使得當(dāng)x→0時，y有界。這意味著我們需要選擇正號，因為如果選擇負(fù)號，那么當(dāng)x→0時，1 - 2y將趨向于負(fù)無窮，這將導(dǎo)致y趨向于正無窮，與y有界的條件相矛盾。因此，我們選擇正號： \[ 1 - 2y = \frac{1}{x^2} \cdot e^{-2C} \] 解出y： \[ y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2} \cdot e^{-2C} \] 為了滿足y(1)=2y'(1)，我們已經(jīng)確定了y'(1)=0，因此我們只需要滿足y(1)=1/2。由于我們已經(jīng)選擇了y(1)=1/2，所以這個條件已經(jīng)滿足。最后，我們需要確定常數(shù)C。由于我們已經(jīng)使用了y(1)=1/2的條件，我們不需要進一步確定C。因此，滿足條件的特解為： \[ y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2} \cdot e^{-2C} \] 其中C是任意常數(shù)，因為y(1)=1/2的條件已經(jīng)使用過了。由于題目沒有要求確定具體的C值，我們可以保留C作為任意常數(shù)。

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