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設(shè)向量β可由向量組α1，α2，…，αr線性表出．試證：如果α1，α2...
設(shè)向量β可由向量組α1，α2，…，αr線性表出．試證：如果α1，α2，…，αr線性無關(guān)，則表示式是唯一的．
分析 這是一個(gè)證明“唯一性”的命題，證明這類命題，往往采用以下兩種方法：一是反證法，假設(shè)滿足題設(shè)的結(jié)果不唯一，從而推出矛盾；二是同一法，設(shè)滿足題設(shè)的結(jié)果有兩個(gè)，然后證明這兩個(gè)相同．
分析 這是一個(gè)證明“唯一性”的命題，證明這類命題，往往采用以下兩種方法：一是反證法，假設(shè)滿足題設(shè)的結(jié)果不唯一，從而推出矛盾；二是同一法，設(shè)滿足題設(shè)的結(jié)果有兩個(gè)，然后證明這兩個(gè)相同．
答案：
為了證明表示式的唯一性，我們采用反證法。
假設(shè)向量β可以由向量組α1，α2，…，αr線性表出，并且存在兩個(gè)不同的表示式：
β = k1α1 + k2α2 + ... + krαr （式1）
和
β = l1α1 + l2α2 + ... + lrαr （式2）
其中，k1, k2, ..., kr 和 l1, l2, ..., lr 是標(biāo)量，且至少有一個(gè)ki 不等于對(duì)應(yīng)的 li。
從式1和式2中，我們可以得到：
k1α1 + k2α2 + ... + krαr - (l1α1 + l2α2 + ... + lrαr) = 0
即：
(k1 - l1)α1 + (k2 - l2)α2 + ... + (kr - lr)αr = 0
由于α1，α2，…，αr線性無關(guān)，上述方程組只有平凡解，即所有的系數(shù)必須為零：
k1 - l1 = 0
k2 - l2 = 0
...
kr - lr = 0
這意味著 ki = li 對(duì)所有的 i = 1, 2, ..., r 成立。這與我們的假設(shè)矛盾，即存在至少一個(gè) i 使得 ki ≠ li。
因此，我們的假設(shè)不成立，向量β由向量組α1，α2，…，αr線性表出的表示式是唯一的。
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問答題
設(shè)α1=（1，0，2，3)T，α2=（1，1，3，5)T，α3=（1，-1，a+2，1)T，α4=...
設(shè)α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，-1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，6+3，5)T．
(1) a，b為何值時(shí)，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合？
(2) a，b為何值時(shí)，β可以由α1，α2，α3，α4的線性表出，且表示唯一？
(1) a，b為何值時(shí)，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合？
(2) a，b為何值時(shí)，β可以由α1，α2，α3，α4的線性表出，且表示唯一？
答案：
(1) 當(dāng)a=2且b≠1時(shí)，β不能表示為α1，α2，α3，α4的線性組合。
(2) 當(dāng)a≠2時(shí)，β可以由α1，α2，α3，α4的線性表出，且表示唯一。
問答題
設(shè)ε1，ε2，ε3及ε'1，ε'2，ε'3是R3的兩個(gè)基，且？？ε'1=ε1-ε2？...
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答案：
要找到從基 \(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}\) 到基 \(\{\varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \varepsilon'_3\}\) 的過渡矩陣，我們需要將新基向量 \(\varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \varepsilon'_3\) 用舊基向量 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 表示出來，并將這些表示寫成矩陣的形式。
已知：
\[
\varepsilon'_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2
\]
\[
\varepsilon'_2 = 2\varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3
\]
\[
\varepsilon'_3 = \varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3
\]
我們可以將這些方程寫成矩陣形式：
\[
\begin{bmatrix}
\varepsilon'_1 \\
\varepsilon'_2 \\
\varepsilon'_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\varepsilon_3
\end{bmatrix}
\]
因此，從基 \(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}\) 到基 \(\{\varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \varepsilon'_3\}\) 的過渡矩陣 \(P\) 是：
\[
P =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\]
這個(gè)矩陣 \(P\) 就是將向量從舊基變換到新基的線性變換的矩陣表示。
