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問答題
設(shè)ε1，ε2，ε3及ε'1，ε'2，ε'3是R3的兩個(gè)基，且？？ε'1=ε1-ε2？...
設(shè)ε1，ε2，ε3及ε'1，ε'2，ε'3是R3的兩個(gè)基，且
ε'1=ε1-ε2
ε'2=2ε1+3ε2+2ε3
ε'3=ε1+3ε2+2ε3
ε'1=ε1-ε2
ε'2=2ε1+3ε2+2ε3
ε'3=ε1+3ε2+2ε3
答案：
要找到從基 \(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}\) 到基 \(\{\varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \varepsilon'_3\}\) 的過渡矩陣，我們需要將新基向量 \(\varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \varepsilon'_3\) 用舊基向量 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 表示出來，并將這些表示寫成矩陣的形式。
已知：
\[
\varepsilon'_1 = \varepsilon_1 - \varepsilon_2
\]
\[
\varepsilon'_2 = 2\varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3
\]
\[
\varepsilon'_3 = \varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + 2\varepsilon_3
\]
我們可以將這些方程寫成矩陣形式：
\[
\begin{bmatrix}
\varepsilon'_1 \\
\varepsilon'_2 \\
\varepsilon'_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\varepsilon_3
\end{bmatrix}
\]
因此，從基 \(\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}\) 到基 \(\{\varepsilon'_1, \varepsilon'_2, \varepsilon'_3\}\) 的過渡矩陣 \(P\) 是：
\[
P =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}
\]
這個(gè)矩陣 \(P\) 就是將向量從舊基變換到新基的線性變換的矩陣表示。
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問答題
設(shè)有向量組α1=（1，1，1，3)T，α2=（-1，-3，5，1)T，α3=（3，2，-1...
設(shè)有向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T.
(1) p為何值時(shí)，該向量組線性無關(guān)？并在此時(shí)將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出.
(2) p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.
(1) p為何值時(shí)，該向量組線性無關(guān)？并在此時(shí)將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出.
(2) p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.
答案：
(1) 當(dāng)p不等于-1時(shí)，該向量組線性無關(guān)。此時(shí)，向量α=(4, 1, 6, 10)^T可以被α1, α2, α3, α4線性表出。
為了將向量α用α1, α2, α3, α4線性表出，我們需要找到一組系數(shù)x1, x2, x3, x4，使得：
x1 * α1 + x2 * α2 + x3 * α3 + x4 * α4 = α
將向量代入，得到方程組：
x1 * (1, 1, 1, 3) + x2 * (-1, -3, 5, 1) + x3 * (3, 2, -1, p+2) + x4 * (-2, -6, 10, p) = (4, 1, 6, 10)
即：
x1 - x2 + 3x3 - 2x4 = 4
x1 - 3x2 + 2x3 - 6x4 = 1
x1 + 5x2 - x3 + 10x4 = 6
3x1 + x2 + (p+2)x3 + px4 = 10
這是一個(gè)線性方程組，可以通過高斯消元法求解系數(shù)x1, x2, x3, x4。
(2) 當(dāng)p等于-1時(shí)，該向量組線性相關(guān)。此時(shí)，向量組的秩為3，因?yàn)橛兴膫€(gè)向量，但它們線性相關(guān)，所以秩小于4。
為了求出極大無關(guān)組，我們可以將向量組的系數(shù)矩陣進(jìn)行行簡化，找到一個(gè)秩為3的子矩陣，該子矩陣對(duì)應(yīng)的向量組即為極大無關(guān)組。
我們首先寫出系數(shù)矩陣：
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
當(dāng)p = -1時(shí)，最后一列變?yōu)?3, 1, -1, -1)，此時(shí)矩陣變?yōu)椋?
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 -1 -1
通過行簡化，我們可以得到一個(gè)秩為3的矩陣，從而確定極大無關(guān)組。由于這是一個(gè)理論問題，沒有具體的數(shù)值計(jì)算過程，所以這里不提供具體的行簡化步驟。在實(shí)際操作中，你可以使用高斯消元法來找到極大無關(guān)組。
