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設函數(shù)f（x)在[a，b]上可導，證明對于介于f'（a)與f'（b)之間的任何值c，總有ξ∈（a，b)，使f'（ξ)=c（常稱之為達布（G. Darboux)定理)

參考答案：為了證明達布定理，我們可以使用羅爾定理（Rolle's Theorem）的一個推廣形式，即柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）。首先，我們定義兩個輔助函數(shù)：設 \( g(x) = f(x) - cx \)，其中 \( c \) 是介于 \( f'(a) \) 和 \( f'(b) \) 之間的任意常數(shù)。由于 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上可導，那么 \( g(x) \) 在 \( [a, b] \) 上也是可導的，并且 \( g(a) = f(a) - ca \) 和 \( g(b) = f(b) - cb \)。接下來，我們考慮以下兩種情況： 1. 如果 \( g(a) = g(b) \)，那么根據(jù)羅爾定理，存在 \( \xi \in (a, b) \) 使得 \( g'(\xi) = 0 \)。由于 \( g(x) = f(x) - cx \)，我們有 \( g'(\xi) = f'(\xi) - c \)。因此，\( f'(\xi) = c \)，這就證明了定理。 2. 如果 \( g(a) \neq g(b) \)，不失一般性，假設 \( g(a) < g(b) \)。根據(jù)介值定理，存在 \( \eta \in (a, b) \) 使得 \( g(\eta) \) 等于 \( g(a) \) 和 \( g(b) \) 之間的某個值。由于 \( g(x) \) 在 \( [a, b] \) 上連續(xù)，在 \( (a, b) \) 內(nèi)可導，我們可以應用柯西中值定理：存在 \( \xi \in (a, \eta) \subset (a, b) \) 使得 \[ \frac{g'(\xi)}{g(\eta) - g(a)} = \frac{g'(\eta) - g'(\xi)}{g(\eta) - g(a)} \] 由于 \( g'(\eta) = f'(\eta) - c \) 且 \( g'(\xi) = f'(\xi) - c \)，我們可以重寫上面的等式為： \[ \frac{f'(\eta) - c}{g(\eta) - g(a)} = \frac{f'(\eta) - f'(\xi)}{g(\eta) - g(a)} \] 由于 \( g(\eta) > g(a) \)，我們可以進一步簡化為： \[ f'(\xi) - c = 0 \] 因此，\( f'(\xi) = c \)。在這兩種情況下，我們都找到了一個 \( \xi \in (a, b) \) 使得 \( f'(\xi) = c \)，從而證明了達布定理。

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