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已知f（1)=1，

1)若f(x)滿足方程xf'(x)+f(x)≡0，求f(2)；
2)若f(x)滿足方程xf'(x)-f(x)≡0，求f(2)．

參考答案： 1) 對(duì)于方程 \(xf'(x) + f(x) = 0\)，我們可以將其改寫為 \(\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{x}\)。這表明函數(shù) \(f(x)\) 的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)是 \(-\frac{1}{x}\)。對(duì)兩邊積分，我們得到： \[ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int -\frac{1}{x} dx \] \[ \ln|f(x)| = -\ln|x| + C \] 由于 \(f(1) = 1\)，我們可以解出常數(shù) \(C\)： \[ \ln|f(1)| = -\ln|1| + C \] \[ \ln(1) = C \] 因此，\(C = 0\)?，F(xiàn)在我們有： \[ \ln|f(x)| = -\ln|x| \] \[ |f(x)| = \frac{1}{|x|} \] 由于 \(f(1) = 1\)，我們可以確定 \(f(x)\) 的符號(hào)與 \(x\) 相同，因此可以去掉絕對(duì)值符號(hào)： \[ f(x) = \frac{1}{x} \] 所以 \(f(2) = \frac{1}{2}\)。 2) 對(duì)于方程 \(xf'(x) - f(x) = 0\)，我們可以將其改寫為 \(\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x}\)。這表明函數(shù) \(f(x)\) 的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)是 \(\frac{1}{x}\)。對(duì)兩邊積分，我們得到： \[ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{x} dx \] \[ \ln|f(x)| = \ln|x| + C \] 由于 \(f(1) = 1\)，我們可以解出常數(shù) \(C\)： \[ \ln|f(1)| = \ln|1| + C \] \[ \ln(1) = C \] 因此，\(C = 0\)?，F(xiàn)在我們有： \[ \ln|f(x)| = \ln|x| \] \[ |f(x)| = |x| \] 由于 \(f(1) = 1\)，我們可以確定 \(f(x)\) 的符號(hào)與 \(x\) 相同，因此可以去掉絕對(duì)值符號(hào)： \[ f(x) = x \] 所以 \(f(2) = 2\)。

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設(shè)當(dāng)x≥a時(shí)，|f'（x)|≤g'（x)，則對(duì)于開(kāi)區(qū)間（a，+∞)內(nèi)的任一點(diǎn)x，恒有|f（x)-f（a)|≤g（x)-g（a)成立．

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設(shè)f（x)在[0，1]上可導(dǎo)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤f（x)≤1，且對(duì)于區(qū)間（0，1)內(nèi)所有x有f'（x)≠1，求證在[0，1]上有且僅有一個(gè)x₀，使f（x₀)=x₀．

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