狠狠色综合7777夜色撩人,国产2021国产高清国产高清

設(shè)f（x)在[0，1]上可導(dǎo)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，0≤f（x)≤1，且對于區(qū)間（0，1)內(nèi)所有x有f'（x)≠1，求證在[0，1]上有且僅有一個(gè)x₀，使f（x₀)=x₀．

參考答案：要證明在區(qū)間 [0, 1] 上存在唯一的 \( x_0 \) 使得 \( f(x_0) = x_0 \)，我們可以使用中值定理來證明。首先，我們考慮函數(shù) \( g(x) = f(x) - x \) 在區(qū)間 [0, 1] 上的性質(zhì)。由于 \( f(x) \) 在 [0, 1] 上可導(dǎo)，并且 \( f'(x) \geq 1 \) 對于所有 \( x \) 在 (0, 1) 內(nèi)成立，我們可以得出 \( g'(x) = f'(x) - 1 \geq 0 \)。這意味著函數(shù) \( g(x) \) 在 (0, 1) 內(nèi)是單調(diào)遞增的。現(xiàn)在，我們來檢查 \( g(x) \) 在區(qū)間端點(diǎn)的值： 1. 當(dāng) \( x = 0 \) 時(shí)，由于 \( 0 \leq f(x) \leq 1 \)，我們有 \( g(0) = f(0) - 0 \geq 0 \cdot 0 = 0 \)。 2. 當(dāng) \( x = 1 \) 時(shí)，同樣由于 \( 0 \leq f(x) \leq 1 \)，我們有 \( g(1) = f(1) - 1 \leq 1 - 1 = 0 \)。現(xiàn)在，我們考慮 \( g(x) \) 在區(qū)間 [0, 1] 上的值。由于 \( g(x) \) 在 (0, 1) 內(nèi)是單調(diào)遞增的，并且 \( g(0) \leq 0 \leq g(1) \)，根據(jù)介值定理，必定存在至少一個(gè) \( x_0 \) 在 (0, 1) 內(nèi)使得 \( g(x_0) = 0 \)。也就是說，存在 \( x_0 \) 使得 \( f(x_0) = x_0 \)。為了證明這樣的 \( x_0 \) 是唯一的，我們假設(shè)存在兩個(gè)不同的 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 在 (0, 1) 內(nèi)使得 \( f(x_1) = x_1 \) 和 \( f(x_2) = x_2 \)。不失一般性，假設(shè) \( x_1 < x_2 \)。那么我們有： \( f(x_2) - f(x_1) = x_2 - x_1 \) 由于 \( f'(x) \geq 1 \) 對于所有 \( x \) 在 (0, 1) 內(nèi)成立，根據(jù)均值定理，存在 \( c \) 在 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 之間使得： \( f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \) 但是，由于 \( f(x_2) - f(x_1) = x_2 - x_1 \)，我們得到 \( f'(c) = 1 \)。這與 \( f'(x) \geq 1 \) 矛盾，因?yàn)?\( c \) 在 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 之間，所以 \( f'(c) \) 應(yīng)該大于 1。因此，我們的假設(shè)不成立，所以 \( x_0 \) 是唯一的。這就完成了證明。

點(diǎn)擊查看答案

你可能感興趣的試題

設(shè)f（x)可導(dǎo)，λ為實(shí)數(shù)，則f（x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必有λf（x)+f'（x)=0的零點(diǎn)

點(diǎn)擊查看答案

若函數(shù)f（x)在區(qū)間（a，b)內(nèi)恒有f'（x)≥0（或≤0)，其中只有有限個(gè)點(diǎn)處等號成立，那么f（x)在（a，b)內(nèi)也必單調(diào)增加（或單調(diào)減少)嗎？

點(diǎn)擊查看答案&解析