如圖所示的穩(wěn)定光學(xué)諧振腔，由一面球面鏡（曲率半徑為R）和平面鏡組成，腔長為L.試證明該腔等價(jià)于另一個(gè)球面鏡腔，此球面鏡腔的一個(gè)球面鏡的曲率半徑仍為R，另一個(gè)球面鏡的曲率半徑R₂和腔長L′分別為R₂=l+L（R-L）/l；L′=l+L，其中l(wèi)為M₂鏡距離平面鏡的距離。

如圖所示，長為λ的高斯光束入射到位于z=1處的透鏡上，為了使出射的高斯光束的束腰剛好落在樣品的表面上（樣品表面距離透鏡L），透鏡焦距應(yīng)為多少？

以高斯光束q參數(shù)的定義式出發(fā)，試證明q（z）=if+z。（其中f為高斯光束共焦參數(shù)，z為距離高斯光束光腰的距離）

某四能級系統(tǒng)，其E₀為基態(tài)能級，四個(gè)能級的簡并度相同。泵浦光頻率與E₀、E₃間躍遷相對應(yīng)，其躍遷幾率W₀₃=W_p。E₃能級到E₂能級的躍遷足夠快，使得E₃能級上的粒子數(shù)可忽略，且E₃到其它能級的躍遷可忽略。E₂能級的壽命τ₂較長，E₁能級的壽命τ₁較短，但不可忽略，因而E₁能級上的粒子數(shù)密度不可忽略，E₂→E₁的躍遷速率為1/τ₂₁，總粒子數(shù)密度為n，求：
1）在E₂和E₁間形成集居數(shù)反轉(zhuǎn)的條件（因無諧振腔，也無相應(yīng)頻率的光入射，因而E₂和E₁間的受激輻射和受激吸收可忽略）；
2）E₂和E₁間的反轉(zhuǎn)集居數(shù)密度與W_p、n的關(guān)系式；
3）泵浦極強(qiáng)時(shí)E₂和E₁間的反轉(zhuǎn)集居數(shù)密度。

如圖所示，波長為λ=1.06m的Nd：YAG激光器，全反射鏡的曲率半徑R=0.5m，距離全反射鏡a=0.15m處放置長為b=0.18的Nd：YAG棒，其折射率η=1.8，棒的右端直接鍍上半反射膜作為腔的輸出端。
1）判別腔的穩(wěn)定性；
2）求Nd：YAG晶體棒輸出端的光斑半徑；
3）在距輸出端c=0.2m處放置F=0.1m薄透鏡，求經(jīng)透鏡后的光腰半徑和位置。