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已知數(shù)列{an}滿足：a1＋＝n2＋2n（）S n ＋λa n ≥2λ n 恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍

參考答案：答案：（1）當n=1時，由題設(shè)條件得 \(a_1 = 1^2 + 2 \cdot 1 = 3\)。（2）當 \(n \geq 2\) 時，由 \(a_1 + \sum_{k=2}^{n} a_k = n^2 + 2n\)，得 \(\sum_{k=2}^{n} a_k = (n^2 + 2n) - a_1 = n^2 + 2n - 3\)。由 \(a_1 + a_2 = 3 + 2^2 + 2 \cdot 2\)，得 \(a_2 = (n^2 + 2n - 3) - (3 + 2^2 + 2 \cdot 2) = (n-1)^2 + 2(n-1)\)。通過歸納法，可以假設(shè) \(a_{n-1} = (2(n-1) + 1) \cdot \lambda^{n-2}\)。因此，由 \(a_{n-1} + a_n = n^2 + 2n - 3\)，得 \(a_n = (2n + 1) \cdot \lambda^{n-1}\)。（3）考慮 \(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 3 + (2 \cdot 2 + 1) \cdot \lambda + (2 \cdot 3 + 1) \cdot \lambda^2 + \ldots + (2n + 1) \cdot \lambda^{n-1}\)。當 \(\lambda = 1\) 時，\(S_n = n^2 + 2n\)。當 \(\lambda \neq 1\) 時，考慮 \(S_n\) 的表達式，可以得到 \(S_n\) 的通項公式。（4）要使 \((1-\lambda)S_n + \lambda a_n = 2\lambda^n\) 對任意 \(n \in \mathbb{N}^*\) 恒成立，需要分析 \(\lambda\) 的取值范圍。當 \(\lambda = 1\) 時，顯然成立。當 \(0 < \lambda < 1\) 時，需要滿足 \((1-\lambda)S_n + \lambda a_n \leq 2\lambda^n\) 對任意 \(n \in \mathbb{N}^*\) 恒成立。當 \(\lambda > 1\) 時，需要滿足 \((1-\lambda)S_n + \lambda a_n \geq 2\lambda^n\) 對任意 \(n \in \mathbb{N}^*\) 恒成立。通過分析，可以得到 \(\lambda\) 的取值范圍。綜上所述，實數(shù) \(\lambda\) 的取值范圍為 \((0, 2)\)。

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