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已知數(shù)列{an}滿足：（）S n ＋λa n ≥2λ n 恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

參考答案：答案：（1）首先，我們需要根據(jù)給定的條件推導(dǎo)出數(shù)列{an}的通項公式。由于題目中提到的條件是關(guān)于數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系，我們可以嘗試從這個關(guān)系出發(fā)。由于Sn + λan = 2λn恒成立，我們可以考慮n=1時的情況，得到S1 + λa1 = 2λ。又因為S1 = a1，所以有a1 + λa1 = 2λ，解得a1 = 2λ / (1 + λ)。對于n≥2的情況，我們有Sn-1 + λan-1 = 2λn-1。將Sn = Sn-1 + an代入Sn + λan = 2λn，得到Sn-1 + an + λan = 2λn。由于Sn-1 + λan-1 = 2λn-1，我們可以將Sn-1替換為2λn-1 - λan-1，得到： 2λn-1 - λan-1 + an + λan = 2λn 整理得到： an - λan = 2λn - 2λn-1 + λan-1 an(1 - λ) = λan-1 + 2λn - 2λn-1 an/an-1 = λ + 2λn - 2λn-1 / (1 - λ) 由于an/an-1 = an/a(n-1)，我們可以推斷出數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，其公比為λ + 2λn - 2λn-1 / (1 - λ)。由于數(shù)列{an}的公比應(yīng)該與n無關(guān)，因此我們可以推斷出λ必須滿足： λ + 2λn - 2λn-1 = λ(1 - λ) 解這個方程，我們得到λ = 0 或 λ = 1。但是由于λ = 0會導(dǎo)致數(shù)列{an}的每一項都為0，這與題目中的條件不符，因此我們排除λ = 0。所以，λ = 1。因此，數(shù)列{an}的通項公式為an = (2n + 1)λn-1 = 2n + 1。（2）根據(jù)（1）中得到的通項公式an = 2n + 1，我們可以看到an是一個關(guān)于n的線性函數(shù)，因此不存在正整數(shù)r，s，t使得ar，as，at成等比數(shù)列。因為等比數(shù)列的性質(zhì)要求中間項的平方等于兩邊項的乘積，而線性函數(shù)的值不可能滿足這樣的條件。（3）對于0 < λ < 1的情況，我們需要證明Sn + λan = 2λn恒成立。由于我們已經(jīng)知道an = 2n + 1，我們可以將an代入Sn + λan = 2λn中，得到： Sn + λ(2n + 1) = 2λn Sn = 2λn - λ(2n + 1) 由于λ < 1，我們可以推斷出隨著n的增加，Sn將趨向于0，因為2λn的增長速度慢于λ(2n + 1)的增長速度。因此，對于足夠大的n，Sn + λan將小于2λn，這與題目中的條件矛盾。因此，不存在實數(shù)λ的取值范圍使得0 < λ < 1時，結(jié)論成立。綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍是{1}。

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