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設(shè)f（x)可導(dǎo)，λ為實(shí)數(shù)，則f（x)的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必有λf（x)+f'（x)=0的零點(diǎn)

參考答案：這個(gè)命題是錯(cuò)誤的。考慮反例來證明這個(gè)命題不總是成立。假設(shè)函數(shù) f(x) = x^2 - 1，它有兩個(gè)零點(diǎn)在 x = -1 和 x = 1。現(xiàn)在我們來檢查 λf(x) + f'(x) 是否在 (-1, 1) 之間有零點(diǎn)。首先計(jì)算 f'(x)： f'(x) = 2x 然后計(jì)算 λf(x) + f'(x)： λf(x) + f'(x) = λ(x^2 - 1) + 2x = λx^2 + 2x - λ 現(xiàn)在我們來分析這個(gè)表達(dá)式。如果 λ = 0，那么我們有： λx^2 + 2x - λ = 2x 這個(gè)函數(shù)在 x = 0 處有一個(gè)零點(diǎn)，但這個(gè)零點(diǎn)并不在 (-1, 1) 之間。如果 λ ≠ 0，那么函數(shù) λx^2 + 2x - λ 是一個(gè)二次函數(shù)，其圖形是一個(gè)開口向上（如果 λ > 0）或向下（如果 λ < 0）的拋物線。這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)可能在 x = -1 和 x = 1 之外，也可能在這兩個(gè)零點(diǎn)之間，但并不保證一定在這兩個(gè)零點(diǎn)之間有一個(gè)零點(diǎn)。例如，如果 λ = 1，那么我們有： λx^2 + 2x - λ = x^2 + 2x - 1 這個(gè)二次方程的判別式 Δ = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8，因此它有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。但是這兩個(gè)根可能都不在 (-1, 1) 之間，或者可能有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)而另一個(gè)不在。這取決于拋物線的頂點(diǎn)位置和開口方向。因此，我們可以得出結(jié)論，對于任意的 λ，f(x) 的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間不一定有 λf(x) + f'(x) = 0 的零點(diǎn)。這個(gè)命題是錯(cuò)誤的。

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若函數(shù)f（x)在區(qū)間（a，b)內(nèi)恒有f'（x)≥0（或≤0)，其中只有有限個(gè)點(diǎn)處等號(hào)成立，那么f（x)在（a，b)內(nèi)也必單調(diào)增加（或單調(diào)減少)嗎？

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