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求微分方程（1-x2)y''-xy'=0的滿足條件y（0)=0，y'（0)=1...

求微分方程(1-x²)y''-xy'=0的滿足條件y(0)=0，y'(0)=1的特解。

參考答案：給定的微分方程是一個(gè)二階線性微分方程，形式上看起來(lái)像是勒讓德方程的變形。我們可以嘗試使用冪級(jí)數(shù)解法來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題。首先，我們假設(shè)解可以表示為冪級(jí)數(shù)的形式： \[ y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \] 對(duì)y求導(dǎo)得到一階和二階導(dǎo)數(shù)： \[ y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n \] \[ y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n \] 將這些導(dǎo)數(shù)代入原微分方程： \[ (1-x^2)y'' - xy' = 0 \] \[ (1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - x\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n = 0 \] 整理得到： \[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+2} - \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n = 0 \] \[ \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n - \sum_{n=2}^{\infty} (n)(n-1) a_{n} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n = 0 \] 為了使上式成立，每一項(xiàng)的系數(shù)必須為零，即： \[ (n+2)(n+1) a_{n+2} - n(n-1) a_{n} - (n+1) a_{n+1} = 0 \] 整理得到遞推關(guān)系： \[ a_{n+2} = \frac{n(n-1) a_{n} + (n+1) a_{n+1}}{(n+2)(n+1)} \] 由于y(0)=0，我們有a_0=0。另外，y'(0)=1意味著a_1=1。現(xiàn)在我們可以使用遞推關(guān)系來(lái)計(jì)算系數(shù)a_n。由于a_0=0，我們可以從n=1開(kāi)始計(jì)算。對(duì)于n=1： \[ a_2 = \frac{1(1-1) a_{1} + (1+1) a_{2}}{(1+2)(1+1)} = \frac{2 a_{2}}{6} \] 由于a_2是未知的，我們無(wú)法直接計(jì)算出它的值。但是，我們可以觀察到，對(duì)于所有的偶數(shù)n，a_n的值將依賴于a_{n-2}，而a_{n-2}的值又依賴于a_{n-4}，依此類推。由于a_0=0，我們可以推斷出所有的偶數(shù)系數(shù)a_{2k}都將為0。對(duì)于奇數(shù)n，我們可以使用遞推關(guān)系來(lái)計(jì)算系數(shù)。由于a_1=1，我們可以計(jì)算出a_3： \[ a_3 = \frac{2(2) a_{2} + (3) a_{2}}{(3)(2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] 繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，我們可以計(jì)算出所有的奇數(shù)系數(shù)a_{2k+1}。最終，特解可以表示為： \[ y(x) = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots \] 由于我們只需要計(jì)算到a_3，我們可以停止計(jì)算： \[ y(x) = x + \frac{1}{2} x^3 + \cdots \] 這就是滿足給定條件的微分方程的特解。注意，由于我們只計(jì)算到a_3，所以特解是一個(gè)近似解，只包含到x的三次項(xiàng)。如果需要更精確的解，我們需要繼續(xù)計(jì)算更多的系數(shù)。

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原問(wèn)題為

max?f=3x₁-2x₂-5x₃+7x₄+8x₅，
s．t．x₂-x₃+3x₄-4x₅=-6，
2x₁+3x₂-3x₃-x₄≥2，
-x₁+2x₃-2x₄≤-5，
-2≤x₁≤10，
5≤x₂≤25,

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設(shè)LP有最優(yōu)解，并設(shè)問(wèn)題（LP)'：

min f=cx，
s．t．Ax=d
x≥0有可行解．試?yán)脤?duì)偶理論證明：(LP)'必有最優(yōu)解．

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