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單項選擇題
向量組α1=（1，-1，2，4)，α2=（0，3，1，2)，α3=（3，0，7，14)，α4=...
向量組α1=(1，-1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)的極大無關組是
(A)α1，α2，α3.??(B)α1，α2，α4.??(C)α1，α2，α5.??(D)α1，α2，α4，α5.??[??]
(A)α1，α2，α3.??(B)α1，α2，α4.??(C)α1，α2，α5.??(D)α1，α2，α4，α5.??[??]
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問答題
設有向量組α1=（1，1，1，3)T，α2=（-1，-3，5，1)T，α3=（3，2，-1...
設有向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T.
(1) p為何值時，該向量組線性無關？并在此時將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出.
(2) p為何值時，該向量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組.
(1) p為何值時，該向量組線性無關？并在此時將向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4線性表出.
(2) p為何值時，該向量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組.
答案：
(1) 當p不等于-1時，該向量組線性無關。此時，向量α=(4, 1, 6, 10)^T可以被α1, α2, α3, α4線性表出。
為了將向量α用α1, α2, α3, α4線性表出，我們需要找到一組系數(shù)x1, x2, x3, x4，使得：
x1 * α1 + x2 * α2 + x3 * α3 + x4 * α4 = α
將向量代入，得到方程組：
x1 * (1, 1, 1, 3) + x2 * (-1, -3, 5, 1) + x3 * (3, 2, -1, p+2) + x4 * (-2, -6, 10, p) = (4, 1, 6, 10)
即：
x1 - x2 + 3x3 - 2x4 = 4
x1 - 3x2 + 2x3 - 6x4 = 1
x1 + 5x2 - x3 + 10x4 = 6
3x1 + x2 + (p+2)x3 + px4 = 10
這是一個線性方程組，可以通過高斯消元法求解系數(shù)x1, x2, x3, x4。
(2) 當p等于-1時，該向量組線性相關。此時，向量組的秩為3，因為有四個向量，但它們線性相關，所以秩小于4。
為了求出極大無關組，我們可以將向量組的系數(shù)矩陣進行行簡化，找到一個秩為3的子矩陣，該子矩陣對應的向量組即為極大無關組。
我們首先寫出系數(shù)矩陣：
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
當p = -1時，最后一列變?yōu)?3, 1, -1, -1)，此時矩陣變?yōu)椋?
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 -1 -1
通過行簡化，我們可以得到一個秩為3的矩陣，從而確定極大無關組。由于這是一個理論問題，沒有具體的數(shù)值計算過程，所以這里不提供具體的行簡化步驟。在實際操作中，你可以使用高斯消元法來找到極大無關組。
