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設(shè)F（x)=∫0x3ln（1+t2)dt．求F'（x)的導(dǎo)函數(shù)F'（x)以及在x=...

設(shè)F(x)=∫₀^x³ln(1+t²)dt．求F'(x)的導(dǎo)函數(shù)F'(x)以及在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)F'(1)．

參考答案： F'(x) = 3x^2 * ln(1+x^2)。為了求出F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)，我們可以使用基本的微積分定理，特別是牛頓-萊布尼茨公式（也稱為基本定理的微積分），它告訴我們?nèi)绾斡?jì)算定積分的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)這個(gè)定理，如果F(x)是函數(shù)f(t)在區(qū)間[0, x]上的定積分，即 F(x) = ∫[0 to x] f(t) dt，那么F(x)的導(dǎo)數(shù)F'(x)就是f(x)： F'(x) = d/dx (∫[0 to x] f(t) dt) = f(x)。在這個(gè)問題中，f(t) = ln(1+t^2)，所以我們可以直接計(jì)算F'(x)： F'(x) = 3x^2 * ln(1+x^2)。現(xiàn)在，為了找到x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)F'(1)，我們只需將x=1代入F'(x)的表達(dá)式中： F'(1) = 3 * 1^2 * ln(1+1^2) = 3 * ln(2)。因此，F(xiàn)'(1) = 3 * ln(2)。

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單項(xiàng)選擇題

若F（x)是f（x)的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是（)

A.(∫_a^xF(t)dt)'_x=f(x)??
B.∫_a^bF(x)dx=f(b)-f(a)??
C.(∫_a^x(t)dt)'_x=F(x)??
D.∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

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設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=(-1/2)x+1（0則P(X≤1.5)=______。

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