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y"+2y'+y=e-x的通解是？？y=______...

y"+2y'+y=e^-x的通解是??y=______

參考答案： y = C1e^(-x) + C2xe^(-x) + (1/2)e^(-x) 解題步驟：給定的微分方程是 y'' + 2y' + y = e^(-x)，其中 y'' 表示 y 的二階導(dǎo)數(shù)，y' 表示 y 的一階導(dǎo)數(shù)。首先，我們需要找到齊次方程 y'' + 2y' + y = 0 的通解。這是一個(gè)具有常數(shù)系數(shù)的線性齊次微分方程。其特征方程為： r^2 + 2r + 1 = 0 解這個(gè)二次方程，我們得到： (r + 1)^2 = 0 這意味著 r = -1 是一個(gè)重根。對(duì)于重根，齊次方程的通解是： y_h = (C1 + C2x)e^(-x) 其中 C1 和 C2 是任意常數(shù)。接下來(lái)，我們需要找到非齊次方程的一個(gè)特解。由于非齊次項(xiàng) e^(-x) 是齊次解的一部分，我們需要使用待定系數(shù)法來(lái)找到一個(gè)特解。由于齊次解中已經(jīng)包含了 e^(-x)，我們假設(shè)特解的形式為： y_p = Ax^2e^(-x) 其中 A 是待定系數(shù)。然后我們計(jì)算 y_p 的一階和二階導(dǎo)數(shù)： y_p' = 2Axe^(-x) - Ax^2e^(-x) y_p'' = 2Ae^(-x) - 4Axe^(-x) + Ax^2e^(-x) 將 y_p, y_p', 和 y_p'' 代入原方程 y'' + 2y' + y = e^(-x)，我們得到： (2Ae^(-x) - 4Axe^(-x) + Ax^2e^(-x)) + 2(2Axe^(-x) - Ax^2e^(-x)) + Ax^2e^(-x) = e^(-x) 簡(jiǎn)化后得到： 2Ae^(-x) = e^(-x) 因此，A = 1/2。所以特解為： y_p = (1/2)x^2e^(-x) 最后，原方程的通解是齊次解和特解的和： y = y_h + y_p y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/2)x^2e^(-x) 這就是給定微分方程的通解。

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