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設(shè)f（x)在[a，b]上連續(xù)，xi∈[a，b]，ti＞0（i=12，…，n)，且∑i=1...

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x_i∈[a，b]，t_i＞0(i=12，…，n)，且∑_i=1ⁿ=1，試證至少存在一點ξ∈[a，b]使
f(ξ)=t₁f(x₁)+t₂f(x₂)+…+t_nf(x_n)．

參考答案：這個問題可以通過使用凸組合和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)來證明。首先，我們注意到給定的條件是 \( \sum_{i=1}^{n} t_i = 1 \)，其中 \( t_i > 0 \) 對于所有的 \( i = 1, 2, \ldots, n \)。我們希望證明存在一個點 \( \xi \in [a, b] \) 使得 \( f(\xi) = \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) \)。為了證明這一點，我們可以使用凸組合的性質(zhì)。一個函數(shù) \( f \) 在區(qū)間 \( [a, b] \) 上連續(xù)，意味著對于任意的 \( \epsilon > 0 \)，存在一個 \( \delta > 0 \)，使得對于任意的 \( x, y \in [a, b] \) 和 \( |x - y| < \delta \)，都有 \( |f(x) - f(y)| < \epsilon \)。現(xiàn)在，我們考慮點 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 和對應(yīng)的權(quán)重 \( t_1, t_2, \ldots, t_n \)。由于 \( \sum_{i=1}^{n} t_i = 1 \)，我們可以構(gòu)造一個新的點 \( \xi \) 作為 \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 的加權(quán)平均，即 \( \xi = \sum_{i=1}^{n} t_i x_i \)。由于 \( [a, b] \) 是閉區(qū)間，\( \xi \) 必然落在這個區(qū)間內(nèi)，即 \( \xi \in [a, b] \)。現(xiàn)在，我們定義函數(shù) \( g(x) = f(x) - \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) \)。由于 \( f \) 在 \( [a, b] \) 上連續(xù)，\( g \) 也在 \( [a, b] \) 上連續(xù)。我們來計算 \( g(\xi) \) 的值： \[ g(\xi) = f(\xi) - \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) = f\left(\sum_{i=1}^{n} t_i x_i\right) - \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) \] 由于 \( \sum_{i=1}^{n} t_i = 1 \)，我們可以將 \( g(\xi) \) 寫為： \[ g(\xi) = \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) - \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) = 0 \] 因此，\( g(\xi) = 0 \)。由于 \( g \) 是連續(xù)的，且 \( g(\xi) = 0 \)，根據(jù)介值定理，如果 \( g(x) \) 在 \( [a, b] \) 上不是恒等于零的函數(shù)，那么必須存在至少一個點 \( c \in [a, b] \) 使得 \( g(c) > 0 \) 或 \( g(c) < 0 \)。但是，由于 \( g(\xi) = 0 \)，這意味著 \( f(\xi) = \sum_{i=1}^{n} t_i f(x_i) \)，因此我們找到了一個點 \( \xi \) 滿足題設(shè)條件。綜上所述，我們證明了至少存在一點 \( \xi \in [a, b] \) 使得 \( f(\xi) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2) + \ldots + t_n f(x_n) \)。

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A.關(guān)于y軸對稱??
B.關(guān)于直線y=x對稱??
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