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求擺線x=a（t - sint),y=a（1 -cost)（0≤t≤2π)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的面積

參考答案：擺線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，其面積可以通過旋轉(zhuǎn)體的表面積公式來計(jì)算。對(duì)于繞x軸旋轉(zhuǎn)的曲線，旋轉(zhuǎn)體的表面積公式為： \[ A = 2\pi \int_{a}^ y \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx \] 其中，\( y = f(x) \) 是旋轉(zhuǎn)曲線的方程，\( \frac{dy}{dx} \) 是該曲線的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于擺線 \( x = a(t - \sin t) \) 和 \( y = a(1 - \cos t) \)，首先我們需要找到 \( \frac{dy}{dx} \)。由于 \( x \) 和 \( y \) 都是參數(shù) \( t \) 的函數(shù)，我們可以通過對(duì) \( y \) 關(guān)于 \( t \) 求導(dǎo)，然后除以 \( x \) 關(guān)于 \( t \) 的導(dǎo)數(shù)來得到 \( \frac{dy}{dx} \)。首先求 \( \frac{dy}{dt} \) 和 \( \frac{dx}{dt} \)： \[ \frac{dy}{dt} = a \sin t \] \[ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t) \] 現(xiàn)在我們可以求 \( \frac{dy}{dx} \)： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{a \sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} \] 接下來，我們需要計(jì)算 \( \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \)： \[ \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{\sin t}{1 - \cos t}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{(1 - \cos t)^2}} \] 由于 \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \)，我們可以將 \( \sin^2 t \) 替換為 \( 1 - \cos^2 t \)： \[ \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{(1 - \cos t)^2}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2}} = \sqrt{\frac{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2}} \] \[ = \sqrt{\frac{1 - 2\cos t + 1}{(1 - \cos t)^2}} = \sqrt{\frac{2 - 2\cos t}{(1 - \cos t)^2}} = \sqrt{\frac{2(1 - \cos t)}{(1 - \cos t)^2}} \] \[ = \sqrt{\frac{2}{1 - \cos t}} \] 現(xiàn)在我們可以將 \( \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \) 代入旋轉(zhuǎn)體的表面積公式： \[ A = 2\pi \int_{0}^{2\pi} a(1 - \cos t) \sqrt{\frac{2}{1 - \cos t}} dt \] \[ = 2\pi a \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1 - \cos t)} dt \] 由于 \( \sqrt{1 - \cos t} \) 是 \( \sin \left(\frac{t}{2}\right) \) 的兩倍，我們可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化積分： \[ A = 2\pi a \int_{0}^{2\pi} 2\sin \left(\frac{t}{2}\right) dt \] \[ = 4\pi a \int_{0}^{2\pi} \sin \left(\frac{t}{2}\right) dt \] 這個(gè)積分可以通過換元法來解決，令 \( u = \frac{t}{2} \)，則 \( dt = 2du \)，積分限從 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 變?yōu)?\( 0 \) 到 \( \pi \)： \[ A = 4\pi a \int_{0}^{\pi} 2\sin u \cdot 2du \] \[ = 16\pi a \int_{0}^{\pi} \sin u du \] \[ = 16\pi a [-\cos u]_{0}^{\pi} \] \[ = 16\pi a [-\cos(\pi) + \cos(0)] \] \[ = 16\pi a [1 + 1] \] \[ = 32\pi a \] 因此，擺線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面的面積是 \( 32\pi a \)。

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