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設(shè)f（x)在[a，b]可導(dǎo)，且f'+（a)與f'-（b)不相等，c是夾在f'...

設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，且f'₊(a)與f'_-(b)不相等，c是夾在f'₊(a)與f'_-(b)之間的一個(gè)數(shù)，求證：存在ξ∈(a，b)使得f'(ξ)=c．

參考答案：要證明存在一個(gè)點(diǎn)ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = c，我們可以使用羅爾定理（Rolle's Theorem）的一個(gè)推廣版本，即柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）。首先，我們定義兩個(gè)輔助函數(shù)：設(shè) \[ g(x) = f(x) - cx \] 和 \[ h(x) = x - a \] 注意到g(x)和h(x)在[a, b]上都是連續(xù)的，并且在(a, b)內(nèi)都是可導(dǎo)的。根據(jù)題設(shè)，我們知道f'(x)在a點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)f'_{+}(a)和在b點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)f'_{-}(b)存在，并且它們不相等。因此，我們可以寫(xiě)出： \[ f'_{+}(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq \lim_{x \to b^-} \frac{f(x) - f(b)}{x - b} = f'_{-}(b) \] 這意味著存在一個(gè)區(qū)間(a, b)，使得在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)f(x)的斜率（即導(dǎo)數(shù)）會(huì)從f'_{+}(a)變化到f'_{-}(b)。現(xiàn)在，我們來(lái)考慮函數(shù)g(x)和h(x)。由于h(a) = a - a = 0且h(b) = b - a > 0，根據(jù)介值定理，存在一個(gè)點(diǎn)c1 ∈ (a, b)，使得h(c1) = 0，即c1 = a。但是，我們需要找到一個(gè)點(diǎn)ξ，使得g'(ξ) = 0。根據(jù)柯西中值定理，如果兩個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，并且h'(x)在(a, b)內(nèi)不為0，那么存在一個(gè)點(diǎn)ξ ∈ (a, b)，使得： \[ \frac{g'(ξ)}{h'(ξ)} = \frac{g(b) - g(a)}{h(b) - h(a)} \] 由于h'(ξ) = 1（因?yàn)閔(x) = x - a），我們可以簡(jiǎn)化上述等式為： \[ g'(ξ) = g(b) - g(a) \] 計(jì)算g'(x)和g(b) - g(a)： \[ g'(x) = f'(x) - c \] \[ g(b) - g(a) = (f(b) - cb) - (f(a) - ca) = f(b) - f(a) - c(b - a) \] 將這些代入柯西中值定理的等式中，我們得到： \[ f'(ξ) - c = f(b) - f(a) - c(b - a) \] 由于f'(ξ) - c = 0，我們可以解出： \[ f'(ξ) = c \] 這就證明了存在一個(gè)點(diǎn)ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = c，正如我們所要證明的。

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