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設(shè)f（n)（x0)存在，且f（x0)=f'（x0)=…=f（n)（x0)=0，證明？？f...

設(shè)f⁽ⁿ⁾(x₀)存在，且f(x₀)=f'(x₀)=…=f⁽ⁿ⁾(x₀)=0，證明
f(x)=o[(x-x_n)ⁿ](x→x₀)

參考答案：要證明 \( f(x) = o[(x - x_0)^n] \) 當(dāng) \( x \to x_0 \)，我們需要證明對(duì)于任意的正數(shù) \( \epsilon \)，存在一個(gè)正數(shù) \( \delta \)，使得當(dāng) \( 0 < |x - x_0| < \delta \) 時(shí)，有 \[ |f(x)| < \epsilon |x - x_0|^n \] 由于 \( f^{(n)}(x_0) = 0 \)，我們可以使用泰勒定理（Taylor's theorem）來(lái)展開 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 附近的值。泰勒定理告訴我們，對(duì)于 \( x \) 在 \( x_0 \) 的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在一個(gè) \( \xi \) 在 \( x \) 和 \( x_0 \) 之間，使得 \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \] 由于 \( f(x_0) = f'(x_0) = \cdots = f^{(n)}(x_0) = 0 \)，上式可以簡(jiǎn)化為 \[ f(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1} \] 因?yàn)?\( f^{(n+1)}(x) \) 在 \( x_0 \) 附近是連續(xù)的，所以它在 \( x_0 \) 的某個(gè)鄰域內(nèi)是有界的，即存在一個(gè)常數(shù) \( M \) 使得對(duì)于所有 \( x \) 在該鄰域內(nèi)，有 \[ |f^{(n+1)}(x)| \leq M \] 因此，我們有 \[ |f(x)| \leq \frac{|f^{(n+1)}(\xi)|}{(n+1)!}|(x - x_0)^{n+1}| \leq \frac{M}{(n+1)!}|(x - x_0)^{n+1}| \] 現(xiàn)在，我們可以選擇 \( \epsilon = \frac{M}{(n+1)!} \)，并取 \( \delta \) 足夠小，使得當(dāng) \( 0 < |x - x_0| < \delta \) 時(shí)，有 \[ |f(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|(x - x_0)^{n+1}| < \epsilon |(x - x_0)^n| \] 這就證明了 \( f(x) = o[(x - x_0)^n] \) 當(dāng) \( x \to x_0 \)。

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