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問答題
設(shè)P（A)＞0，P（B)＞0，試將下列4個數(shù)：
P(A)，P(AB)，P(A)+P(B)，P(A∪B)
按由小到大的順序用不等號“≤”連結(jié)起來，并分別對每個不等號指明何時成為等號．
按由小到大的順序用不等號“≤”連結(jié)起來，并分別對每個不等號指明何時成為等號．
答案：
$P(AB) \leq P(A) \leq P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)$
解釋如下：
1. $P(AB) \leq P(A)$：因為$AB$是$A$的一個子集，所以$AB$發(fā)生的概率不會大于$A$發(fā)生的概率。等號成立的條件是$B$包含于$A$，即$B \subseteq A$。
2. $P(A) \leq P(A)+P(B)$：這是概率的基本性質(zhì)，一個事件的概率不會大于它和另一個事件概率的和。等號成立的條件是$A$和$B$互斥，即$A$和$B$不能同時發(fā)生，$A \cap B = \emptyset$。
3. $P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)$：這是概率的加法原理，兩個事件至少有一個發(fā)生的概率等于各自發(fā)生的概率之和減去兩個事件同時發(fā)生的概率。等號成立的條件是$A$和$B$互斥，即$A \cap B = \emptyset$。
綜上所述，我們得到不等式鏈：$P(AB) \leq P(A) \leq P(A)+P(B) \leq P(A \cup B)$。等號成立的條件分別是$B \subseteq A$，$A \cap B = \emptyset$，$A \cap B = \emptyset$。
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問答題
設(shè)（X1，X2，…．Xn)是取自總體X的一個樣本，E（X)＝μ，D（X)＝σ2...
設(shè)(X1，X2，…．Xn)是取自總體X的一個樣本，E(X)＝μ，D(X)＝σ2，E(X)=μ,D(X)=σ2是未知參數(shù)μ的無偏估計，也是一個相合估計.所以D(X均值)=σ2/n.怎么推導(dǎo)的？
答案：
這里似乎有一個小錯誤，因為您提到了“E(X)=μ,D(X)=σ2是未知參數(shù)μ的無偏估計，也是一個相合估計”，但是后面的問題是關(guān)于“D(X均值)=σ2/n”的推導(dǎo)。我將先解釋為什么樣本均值的方差是σ2/n，然后解釋為什么樣本均值是總體均值μ的無偏估計和相合估計。
首先，我們來推導(dǎo)為什么樣本均值的方差是σ2/n。
設(shè) \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) 是來自總體X的一個簡單隨機(jī)樣本，總體均值為 \( \mu \)，總體方差為 \( \sigma^2 \)。
樣本均值定義為：
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]
樣本均值的期望值是總體均值：
\[ E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot \mu = \mu \]
樣本均值的方差是：
\[ D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) \]
由于 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) 是獨立同分布的，我們可以將方差的性質(zhì)應(yīng)用到上面的表達(dá)式中：
\[ D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) \]
因為每個 \( X_i \) 的方差都是 \( \sigma^2 \)，所以：
\[ D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n} \]
這就是為什么樣本均值的方差是 \( \sigma^2/n \)。
接下來，解釋為什么樣本均值是總體均值μ的無偏估計和相合估計：
無偏性（Unbiasedness）：
一個估計量是無偏的，如果它的期望值等于它試圖估計的參數(shù)。對于樣本均值 \( \bar{X} \)，我們已經(jīng)證明了 \( E(\bar{X}) = \mu \)，所以樣本均值是總體均值μ的無偏估計。
相合性（Consistency）：
一個估計量是相合的，如果隨著樣本量的增加，該估計量以概率1收斂于它試圖估計的參數(shù)。根據(jù)大數(shù)定律，樣本均值 \( \bar{X} \) 會以概率1收斂于總體均值μ，即：
\[ \lim_{n \to \infty} P(|\bar{X} - \mu| < \epsilon) = 1 \]
對于任意小的正數(shù) \( \epsilon \)，這意味著隨著樣本量n的增加，樣本均值 \( \bar{X} \) 會越來越接近總體均值μ，因此樣本均值是總體均值μ的相合估計。
問答題
有一批燈泡壽命（小時)的抽取樣本：
1458，?1395，?1562，?1614，?1351
1490，?1478，?1382，?1536，?1496
試用矩估計法對這批燈泡的平均壽命μ及壽命方差σ2作出矩估計．
1490，?1478，?1382，?1536，?1496
試用矩估計法對這批燈泡的平均壽命μ及壽命方差σ2作出矩估計．
答案：
矩估計法是一種參數(shù)估計方法，它基于樣本矩與總體矩相等的原理。對于正態(tài)分布的總體，其一階原點矩（即均值）和二階中心矩（即方差）分別等于樣本均值和樣本方差。
設(shè)總體均值為 $\mu$，總體方差為 $\sigma^2$，樣本均值為 $\bar{x}$，樣本方差為 $s^2$。
樣本均值 $\bar{x}$ 的計算公式為：
$$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$
樣本方差 $s^2$ 的計算公式為：
$$ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 $$
其中 $x_i$ 是樣本中的每一個觀測值，$n$ 是樣本的大小。
現(xiàn)在我們有樣本數(shù)據(jù)：1458, 1395, 1562, 1614, 1351, 1490, 1478, 1382, 1536, 1496。
首先計算樣本均值 $\bar{x}$：
$$ \bar{x} = \frac{1}{10} (1458 + 1395 + 1562 + 1614 + 1351 + 1490 + 1478 + 1382 + 1536 + 1496) $$
$$ \bar{x} = \frac{1}{10} (14362) $$
$$ \bar{x} = 1436.2 $$
然后計算樣本方差 $s^2$：
$$ s^2 = \frac{1}{10-1} \left[ (1458 - 1436.2)^2 + (1395 - 1436.2)^2 + (1562 - 1436.2)^2 + (1614 - 1436.2)^2 + (1351 - 1436.2)^2 + (1490 - 1436.2)^2 + (1478 - 1436.2)^2 + (1382 - 1436.2)^2 + (1536 - 1436.2)^2 + (1496 - 1436.2)^2 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ (21.8)^2 + (-41.2)^2 + (125.8)^2 + (177.8)^2 + (-85.2)^2 + (53.8)^2 + (41.8)^2 + (-54.2)^2 + (99.8)^2 + (59.8)^2 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ 475.24 + 1700.64 + 15825.64 + 31612.84 + 7254.24 + 2896.84 + 1748.84 + 2937.64 + 9960.04 + 3576.04 \right] $$
$$ s^2 = \frac{1}{9} \left[ 73687.04 \right] $$
$$ s^2 = 8187.45 $$
因此，這批燈泡的平均壽命 $\mu$ 的矩估計值為 1436.2 小時，壽命方差 $\sigma^2$ 的矩估計值為 8187.45 小時2。
