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設(shè)f（x)在[a，b]上可導(dǎo)，且∫abf（x)dx=∫abxf（x)dx=0．試證...

設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且∫_a^bf(x)dx=∫_a^bxf(x)dx=0．試證至少存在一點(diǎn)c∈(a，b)，使f'(c)=0．

參考答案：為了證明至少存在一點(diǎn) \( c \in (a, b) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)，我們可以使用羅爾定理（Rolle's Theorem）。首先，根據(jù)題設(shè)條件，我們有： \[ \int_a^b f(x) \, dx = 0 \] \[ \int_a^b xf(x) \, dx = 0 \] 由第一個(gè)條件，我們知道函數(shù) \( f(x) \) 在區(qū)間 \([a, b]\) 上的積分為零。這意味著 \( f(x) \) 在區(qū)間 \([a, b]\) 上的正面積和負(fù)面積相互抵消。由于 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上可導(dǎo)，\( f(x) \) 必須在某點(diǎn) \( c_1 \) 處取得局部最大值，在某點(diǎn) \( c_2 \) 處取得局部最小值，且 \( f(c_1) \) 和 \( f(c_2) \) 至少有一個(gè)為零（因?yàn)槿绻?\( f(x) \) 在整個(gè)區(qū)間上保持同號(hào)，則不可能積分為零）。由第二個(gè)條件，我們知道函數(shù) \( xf(x) \) 在區(qū)間 \([a, b]\) 上的積分為零。這意味著 \( f(x) \) 在區(qū)間 \([a, b]\) 上的加權(quán)面積（以 \( x \) 為權(quán)重）也相互抵消。這意味著 \( f(x) \) 在 \( a \) 和 \( b \) 之間至少有一個(gè)點(diǎn) \( c_3 \) 使得 \( f(c_3) \) 與 \( c_3 \) 的乘積為零，即 \( c_3f(c_3) = 0 \)。由于 \( f(x) \) 在 \( c_1 \) 和 \( c_2 \) 處取得局部極值，我們可以推斷 \( f(c_1) = 0 \) 或 \( f(c_2) = 0 \)。現(xiàn)在，我們考慮函數(shù) \( F(x) = x f(x) \)。由于 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上可導(dǎo)，\( F(x) \) 也在 \([a, b]\) 上可導(dǎo)。根據(jù)羅爾定理，如果一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間 \([a, b]\) 上連續(xù)，在開區(qū)間 \((a, b)\) 內(nèi)可導(dǎo)，并且 \( F(a) = F(b) \)，那么至少存在一點(diǎn) \( c \in (a, b) \) 使得 \( F'(c) = 0 \)。由于 \( F(a) = af(a) \) 和 \( F(b) = bf(b) \)，根據(jù)題設(shè)條件，我們有 \( F(a) = F(b) = 0 \)。因此，存在至少一點(diǎn) \( c \in (a, b) \) 使得 \( F'(c) = 0 \)。計(jì)算 \( F'(x) \) 我們得到： \[ F'(x) = f(x) + xf'(x) \] 因此，\( F'(c) = f(c) + cf'(c) = 0 \)。由于 \( f(c) = 0 \)（因?yàn)?\( f(c_1) = 0 \) 或 \( f(c_2) = 0 \)），我們可以得出： \[ 0 + cf'(c) = 0 \] 由于 \( c \neq 0 \)（因?yàn)?\( c \) 在 \( a \) 和 \( b \) 之間），我們可以得出： \[ f'(c) = 0 \] 這就證明了至少存在一點(diǎn) \( c \in (a, b) \) 使得 \( f'(c) = 0 \)。

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設(shè)f（x)有界可微，且|f（x)+f'（x)|≤1，試證|f（x)|≤1．

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試化簡(jiǎn)下列各式：

(1)(a+b+c)×c+(a+b+c)×b-(b-c)×a；
(2)(a-2c)·[(a-b)×(a-b-c)]；
(3)(a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b)．

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