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已知一有限長序列x（n)={4,3+j,2-j,6},N=4，求其圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量。

參考答案：答案：對于一個長度為N的有限長序列x(n)，其圓周共軛對稱分量（DFT中的實部）和圓周共軛反對稱分量（DFT中的虛部）可以通過以下方式獲得： 1. 圓周共軛對稱分量（偶分量）：\( x_{even}(n) = \frac{1}{2} [x(n) + x^*(N-n)] \) 2. 圓周共軛反對稱分量（奇分量）：\( x_{odd}(n) = \frac{1}{2j} [x(n) - x^*(N-n)] \) 其中，\( x^*(n) \) 表示x(n)的共軛，\( j \) 是虛數(shù)單位。給定序列 x(n) = {4, 3+j, 2-j, 6}，N=4，我們可以計算出： \( x^*(N-n) \) 對應(yīng)的序列是 {6, 2-j, 3+j, 4} 的共軛，即 {6, 2+j, 3-j, 4}。現(xiàn)在，我們可以分別計算圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量。對于n=0: \( x_{even}(0) = \frac{1}{2} [x(0) + x^*(N-0)] = \frac{1}{2} [4 + 6] = 5 \) \( x_{odd}(0) = \frac{1}{2j} [x(0) - x^*(N-0)] = \frac{1}{2j} [4 - 6] = -\frac{1}{j} = j \) 對于n=1: \( x_{even}(1) = \frac{1}{2} [x(1) + x^*(N-1)] = \frac{1}{2} [(3+j) + (2+j)] = \frac{1}{2} [5+2j] = \frac{5}{2} + j \) \( x_{odd}(1) = \frac{1}{2j} [x(1) - x^*(N-1)] = \frac{1}{2j} [(3+j) - (2+j)] = \frac{1}{2j} [1] = \frac{1}{2j} = -\frac{j}{2} \) 對于n=2: \( x_{even}(2) = \frac{1}{2} [x(2) + x^*(N-2)] = \frac{1}{2} [(2-j) + (3-j)] = \frac{1}{2} [5-2j] = \frac{5}{2} - j \) \( x_{odd}(2) = \frac{1}{2j} [x(2) - x^*(N-2)] = \frac{1}{2j} [(2-j) - (3-j)] = \frac{1}{2j} [-1] = -\frac{1}{2j} = \frac{j}{2} \) 對于n=3: \( x_{even}(3) = \frac{1}{2} [x(3) + x^*(N-3)] = \frac{1}{2} [6 + 4] = 5 \) \( x_{odd}(3) = \frac{1}{2j} [x(3) - x^*(N-3)] = \frac{1}{2j} [6 - 4] = \frac{1}{2j} [2] = \frac{1}{j} = -j \) 因此，圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量為： \( x_{even}(n) = \{5, \frac{5}{2} + j, \frac{5}{2} - j, 5\} \) \( x_{odd}(n) = \{j, -\frac{j}{2}, \frac{j}{2}, -j\} \) 注意：在計算過程中，我們使用了共軛的性質(zhì)，即\( (a + jb)^* = a - jb \)。

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