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利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：

?
Ω
(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲面x²+y²=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域．

參考答案：要計(jì)算這個(gè)三重積分，我們首先需要確定積分區(qū)域Ω的邊界。由題目條件，區(qū)域Ω由曲面 \(x^2 + y^2 = 2z\) 和平面 \(z = 2\) 所圍成。在柱面坐標(biāo)系中，\(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = z\)，其中 \(r\) 是從 \(z\) 軸到點(diǎn) \((x, y, z)\) 的距離，\(\theta\) 是從 \(x\) 軸到點(diǎn) \((x, y)\) 在 \(xy\) 平面上的投影的夾角。對(duì)于曲面 \(x^2 + y^2 = 2z\)，在柱面坐標(biāo)系中，它變?yōu)?\(r^2 = 2z\)，或者 \(z = \frac{r^2}{2}\)。積分區(qū)域Ω的邊界可以描述為： - \(z\) 的范圍是從 \(z = \frac{r^2}{2}\) 到 \(z = 2\)。 - \(r\) 的范圍是從 \(0\) 到 \(r_{max}\)，其中 \(r_{max}\) 是 \(z = 2\) 平面上 \(x^2 + y^2 = 2z\) 的解，即 \(r_{max} = \sqrt{2z}\) 在 \(z = 2\) 時(shí)，\(r_{max} = \sqrt{4} = 2\)。 - \(\theta\) 的范圍是從 \(0\) 到 \(2\pi\)。因此，積分可以寫成柱面坐標(biāo)下的形式： \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{\frac{r^2}{2}}^{2} r^2 \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] 其中 \(r^2 \cdot r\) 是 \(x^2 + y^2\) 的柱面坐標(biāo)表示，\(dz \, dr \, d\theta\) 是體積元素。現(xiàn)在我們可以計(jì)算積分： \[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{\frac{r^2}{2}}^{2} r^3 \, dz \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \left[ r^3 \cdot z \right]_{\frac{r^2}{2}}^{2} \, dr \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \left( r^3 \cdot 2 - r^3 \cdot \frac{r^2}{2} \right) \, dr \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \left( 2r^3 - \frac{1}{2}r^5 \right) \, dr \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{1}{2}r^4 - \frac{1}{12}r^6 \right]_{0}^{2} \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1}{2}(2)^4 - \frac{1}{12}(2)^6 \right) \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \left( 8 - \frac{64}{12} \right) \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \left( 8 - \frac{16}{3} \right) \, d\theta \] \[ = \int_{0}^{2\pi} \frac{8}{3} \, d\theta \] \[ = \frac{8}{3} \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi} \] \[ = \frac{8}{3} \cdot 2\pi \] \[ = \frac{16\pi}{3} \] 因此，該三重積分的值為 \(\frac{16\pi}{3}\)。

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