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從一批墊圈中隨機抽取10個，測得它們的厚度（mm)如下．

1.23?1.24?1.26?1.29?1.20?1.32?1.23?1.23?1.29?1.28
設墊圈厚度服從正態(tài)分布，求厚度的均值對應于置信度為0.95的置信區(qū)間．

參考答案：為了求出墊圈厚度均值的置信區(qū)間，我們需要使用以下公式： $$ \bar{x} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 其中： - $\bar{x}$ 是樣本均值 - $Z_{\frac{\alpha}{2}}$ 是標準正態(tài)分布的臨界值，對應于置信度的兩側尾部概率 - $\sigma$ 是樣本標準差 - $n$ 是樣本大小首先，我們需要計算樣本均值 $\bar{x}$ 和樣本標準差 $s$。樣本均值 $\bar{x}$ 計算如下： $$ \bar{x} = \frac{\sum{x_i}}{n} $$ 樣本標準差 $s$ 計算如下： $$ s = \sqrt{\frac{\sum{(x_i - \bar{x})^2}}{n-1}} $$ 給定的樣本數(shù)據(jù)為：1.23, 1.24, 1.26, 1.29, 1.20, 1.32, 1.23, 1.23, 1.29, 1.28。首先計算樣本均值： $$ \bar{x} = \frac{1.23 + 1.24 + 1.26 + 1.29 + 1.20 + 1.32 + 1.23 + 1.23 + 1.29 + 1.28}{10} $$ $$ \bar{x} = \frac{12.57}{10} $$ $$ \bar{x} = 1.257 $$ 然后計算樣本標準差： $$ s = \sqrt{\frac{(1.23-1.257)^2 + (1.24-1.257)^2 + (1.26-1.257)^2 + (1.29-1.257)^2 + (1.20-1.257)^2 + (1.32-1.257)^2 + (1.23-1.257)^2 + (1.23-1.257)^2 + (1.29-1.257)^2 + (1.28-1.257)^2}{10-1}} $$ $$ s = \sqrt{\frac{(-0.027)^2 + (-0.017)^2 + (0.003)^2 + (0.033)^2 + (-0.057)^2 + (0.063)^2 + (-0.027)^2 + (-0.027)^2 + (0.033)^2 + (0.023)^2}{9}} $$ $$ s = \sqrt{\frac{0.000729 + 0.000289 + 0.000009 + 0.001089 + 0.003249 + 0.003969 + 0.000729 + 0.000729 + 0.001089 + 0.000529}{9}} $$ $$ s = \sqrt{\frac{0.012411}{9}} $$ $$ s = \sqrt{0.001379} $$ $$ s \approx 0.0371 $$ 接下來，我們需要查找 $Z_{\frac{\alpha}{2}}$ 的值。對于置信度為 0.95，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，因此 $\frac{\alpha}{2} = 0.025$。查找標準正態(tài)分布表，我們找到 $Z_{0.025}$ 大約是 1.96。現(xiàn)在我們可以計算置信區(qū)間： $$ \bar{x} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} $$ $$ 1.257 \pm 1.96 \cdot \frac{0.0371}{\sqrt{10}} $$ $$ 1.257 \pm 1.96 \cdot \frac{0.0371}{3.162} $$ $$ 1.257 \pm 1.96 \cdot 0.0117 $$ $$ 1.257 \pm 0.0229 $$ 因此，墊圈厚度的均值對應的置信區(qū)間為： $$ (1.257 - 0.0229, 1.257 + 0.0229) $$ $$ (1.2341, 1.2799) $$ 所以，我們可以說在 95% 的置信水平下，墊圈厚度的均值落在 1.2341 mm 到 1.2799 mm 之間。

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