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設(shè)f（x)處處連續(xù)，對(duì)于任意x，y均滿足f（x+y)=f（x)f（y)恒成立，且f"（0)=1，求f（x)所滿足的一階微分方程并求f（x)表達(dá)式。

參考答案：答案：由題意知，函數(shù)f(x)處處連續(xù)，并且對(duì)于任意的x和y，滿足函數(shù)方程f(x+y)=f(x)f(y)，且f(0)=1。首先，我們可以利用函數(shù)方程來找出f(x)的性質(zhì)。令x=y=0，我們得到： f(0+0)=f(0)f(0) f(0)=f(0)^2 由于f(0)不為0（否則f(x)將恒為0，這與f(0)=1矛盾），我們可以得出f(0)=1。接下來，令y=-x，我們得到： f(x-x)=f(x)f(-x) f(0)=f(x)f(-x) 由于f(0)=1，我們有： f(x)f(-x)=1 f(-x)=1/f(x) 現(xiàn)在，我們來求f(x)的導(dǎo)數(shù)。令y趨向于0，我們得到： f(x+0)=f(x)f(0) f(x)=f(x)*1 這個(gè)結(jié)果是平凡的，因?yàn)樗鼘?duì)所有x都成立。為了得到f(x)的導(dǎo)數(shù)，我們需要對(duì)函數(shù)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)。令y為一個(gè)常數(shù)，我們對(duì)f(x+y)關(guān)于x求導(dǎo)，得到： d/dx [f(x+y)] = d/dx [f(x)f(y)] 由于y是常數(shù)，所以f(y)也是常數(shù)，因此： f'(x+y) = f'(x)f(y) 現(xiàn)在，我們令y=0，得到： f'(x) = f'(x)f(0) 由于f(0)=1，我們有： f'(x) = f'(x) 這個(gè)結(jié)果告訴我們f'(x)是常數(shù)，設(shè)為C。因此，f(x)的導(dǎo)數(shù)是常數(shù)C?，F(xiàn)在我們可以寫出f(x)的微分方程： f'(x) = C 由于f(0)=1，我們可以得出f(x)的表達(dá)式。因?yàn)閒'(x)是常數(shù)，所以f(x)是線性函數(shù)： f(x) = Cx + f(0) f(x) = Cx + 1 由于f(x)必須滿足原來的函數(shù)方程f(x+y)=f(x)f(y)，我們可以將Cx+1代入檢驗(yàn)： (Cx+1)(Cy+1) = C(x+y) + 1 Cx*Cy + Cx + Cy + 1 = Cx + Cy + 1 這個(gè)等式對(duì)于所有的x和y都成立，只要C滿足C=C^2。這意味著C必須是0或1。由于f(0)=1，C不能為0，因此C必須為1。因此，f(x)的表達(dá)式為： f(x) = x + 1 并且f(x)滿足的一階微分方程為： f'(x) = 1

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