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角動(dòng)量為j[J2=j（j+1)]的體系，處于Jz取最大值（m=j)的本...

角動(dòng)量為j[J²=j(j+1)]的體系，處于J_z取最大值(m=j)的本征態(tài)|jj)．設(shè)z'軸和z軸夾角為θ，求在|jj〉態(tài)下測(cè)得J_z'=j的概率P(θ)．先討論j=1/2的情形，再推廣到一般情形．

參考答案：首先，我們需要了解角動(dòng)量算符的性質(zhì)和它們?cè)诓煌较蛏系姆至咳绾蜗嗷プ饔?。?duì)于角動(dòng)量為 $ j $ 的體系，角動(dòng)量平方算符 $ J^2 $ 和 $ J_z $ 的本征值分別是 $ j(j+1) $ 和 $ m $，其中 $ m $ 的取值范圍是 $ -j \leq m \leq j $。在 $ j = \frac{1}{2} $ 的情況下，$ m $ 只有兩個(gè)可能的值：$ m = \frac{1}{2} $ 和 $ m = -\frac{1}{2} $。由于我們考慮的是 $ J_z $ 取最大值 $ m = j $ 的本征態(tài) $ |jj\rangle $，在這個(gè)情況下，態(tài) $ |jj\rangle $ 就是 $ |j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle $。現(xiàn)在，我們要計(jì)算在 $ |jj\rangle $ 態(tài)下測(cè)量 $ J_{z'} $ 得到 $ j $ 的概率 $ P(\theta) $。為此，我們需要將 $ J_{z'} $ 的本征態(tài)展開為 $ J_z $ 的本征態(tài)。由于 $ J_{z'} $ 和 $ J_z $ 是不同的方向，我們需要使用轉(zhuǎn)動(dòng)算符 $ R(\theta) $ 來將 $ J_z $ 的本征態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)到 $ J_{z'} $ 的本征態(tài)。轉(zhuǎn)動(dòng)算符 $ R(\theta) $ 可以表示為： \[ R(\theta) = e^{-i\theta J_y} \] 其中 $ J_y $ 是角動(dòng)量在 $ y $ 方向上的分量，$ \theta $ 是 $ z $ 軸和 $ z' $ 軸之間的夾角。對(duì)于 $ j = \frac{1}{2} $ 的情況，$ J_{z'} $ 的本征態(tài)可以寫為： \[ |j = \frac{1}{2}, J_{z'} = \frac{1}{2}\rangle = |j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle \] \[ |j = \frac{1}{2}, J_{z'} = -\frac{1}{2}\rangle = |j = \frac{1}{2}, m = -\frac{1}{2}\rangle \] 由于 $ |j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle $ 是 $ J_z $ 的本征態(tài)，我們可以直接計(jì)算 $ J_{z'} $ 的期望值。但是，為了得到概率，我們需要知道 $ J_{z'} $ 的本征態(tài)在 $ J_z $ 本征態(tài)下的展開系數(shù)。這可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)算符 $ R(\theta) $ 來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于 $ j = \frac{1}{2} $ 的情況，轉(zhuǎn)動(dòng)算符 $ R(\theta) $ 在 $ J_z $ 本征態(tài)下的作用是： \[ R(\theta)|j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle + \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|j = \frac{1}{2}, m = -\frac{1}{2}\rangle \] 因此，測(cè)量 $ J_{z'} $ 得到 $ j = \frac{1}{2} $ 的概率 $ P(\theta) $ 就是轉(zhuǎn)動(dòng)后的態(tài)在 $ |j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle $ 上的投影的模方，即： \[ P(\theta) = |\langle j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}|R(\theta)|j = \frac{1}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle|^2 \] \[ P(\theta) = |\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|^2 \] 現(xiàn)在，讓我們推廣到一般情況 $ j $。對(duì)于任意的 $ j $，$ J_{z'} $ 的本征態(tài)可以表示為 $ J_z $ 本征態(tài)的線性組合： \[ |j, J_{z'} = j\rangle = \sum_{m=-j}^{j} c_m |j, m\rangle \] 其中 $ c_m $ 是 $ J_{z'} $ 本征態(tài)在 $ J_z $ 本征態(tài)下的展開系數(shù)。這些系數(shù)可以通過轉(zhuǎn)動(dòng)算符 $ R(\theta) $ 來計(jì)算，但具體的計(jì)算涉及到復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，通常需要使用角動(dòng)量耦合系數(shù)和Wigner D矩陣。對(duì)于 $ J_{z'} = j $ 的情況，概率 $ P(\theta) $ 就是 $ |j, J_{z'} = j\rangle $ 在 $ |j, m = j\rangle $ 上的投影的模方，即： \[ P(\theta) = |\langle j, m = j|R(\theta)|j, m = j\rangle|^2 \] 由于 $ |j, m = j\rangle $ 是 $ J_z $ 的本征態(tài)，我們可以使用轉(zhuǎn)動(dòng)算符 $ R(\theta) $ 來得到 $ J_{z'} $ 的本征態(tài)，然后計(jì)算 $ P(\theta) $。但是，具體的 $ c_m $ 系數(shù)和 $ P(\theta) $ 的表達(dá)式將依賴于 $ j $ 的具體值和 $ \theta $ 的角度。在實(shí)際操作中，通常會(huì)使用量子力學(xué)的軟件包或者手動(dòng)計(jì)算Wigner D矩陣來得到 $ c_m $ 系數(shù)，然后計(jì)算 $ P(\theta) $。對(duì)于一般情況，沒有簡單的閉合形式的表達(dá)式，但計(jì)算過程遵循上述的理論框架。

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a＜b and c＞=d or 2$amp;

A.0??
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D.TRUE

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我國2008年第四季度開始實(shí)施新的積極政策，其主要內(nèi)容有（)。

A.加大支出力度，優(yōu)化支出結(jié)構(gòu)
B.實(shí)行結(jié)構(gòu)性減稅，推進(jìn)稅費(fèi)改革
C.提高低收入群體收入，大力促進(jìn)消費(fèi)需求
D.進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化財(cái)政支出結(jié)構(gòu)，促進(jìn)保障和改善民生
E.大力支持科技創(chuàng)新和節(jié)能減排，推進(jìn)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整和發(fā)展方式轉(zhuǎn)變

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