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計算求∮？f/？n ds其中L為橢圓2x2+y2=1，n為L的外法向量（...

計算求∮?f/?n ds其中L為橢圓2x²+y²=1，n為L的外法向量(即指向橢圓外側的法向量)，f(x，y)=(x-2)²+y²

參考答案：要計算 \(\frac{\partial f}{\partial n} ds\)，其中 \(L\) 是橢圓 \(2x^2 + y^2 = 1\)，\(n\) 是 \(L\) 的外法向量，\(f(x, y) = (x-2)^2 + y^2\)。首先，我們需要找到 \(f\) 關于 \(x\) 和 \(y\) 的偏導數(shù)： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2(x-2) \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \] 然后，我們需要找到橢圓 \(L\) 的參數(shù)化形式。我們可以使用參數(shù) \(t\) 來表示橢圓上的點： \[ x = \cos(t) \] \[ y = \sin(t) \] 其中 \(t\) 從 \(0\) 到 \(2\pi\)。接下來，我們需要計算外法向量 \(n\)。對于橢圓 \(2x^2 + y^2 = 1\)，我們可以使用隱函數(shù)求導法來找到 \(dy/dx\)，然后通過 \(dy/dx\) 和 \(dx/dt\) 的關系來找到 \(dy/dt\)，從而得到 \(n\) 的方向。對橢圓方程兩邊關于 \(x\) 求導，得到： \[ 4x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \] 解得： \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{y} \] 由于 \(y\) 不能為零（因為我們在橢圓上），我們可以安全地除以 \(y\)?，F(xiàn)在我們需要找到 \(dx/dt\) 和 \(dy/dt\)： \[ \frac{dx}{dt} = -\sin(t) \] \[ \frac{dy}{dt} = \cos(t) \] 因此，外法向量 \(n\) 的方向可以通過 \(dy/dx\) 和 \(dx/dt\) 的關系來確定： \[ n = \left( \frac{dy}{dt}, -\frac{dx}{dt} \right) = (\cos(t), \sin(t)) \] 但是，我們需要的是指向橢圓外側的法向量，所以我們需要調(diào)整 \(n\) 的方向，使其指向外側。由于 \(n\) 已經(jīng)是單位向量，我們只需要確保它指向外側即可。在本例中，由于 \(dx/dt\) 和 \(dy/dt\) 已經(jīng)是橢圓上點的切線向量，\(n\) 已經(jīng)是外法向量。現(xiàn)在我們可以計算 \(\frac{\partial f}{\partial n}\)： \[ \frac{\partial f}{\partial n} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} = 2(x-2)(-\sin(t)) + 2y\cos(t) \] 將 \(x\) 和 \(y\) 用參數(shù) \(t\) 表示： \[ \frac{\partial f}{\partial n} = 2(\cos(t)-2)(-\sin(t)) + 2\sin(t)\cos(t) \] 最后，我們需要沿著橢圓積分： \[ \int_L \frac{\partial f}{\partial n} ds = \int_0^{2\pi} \frac{\partial f}{\partial n} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \] \[ = \int_0^{2\pi} \left[ 2(\cos(t)-2)(-\sin(t)) + 2\sin(t)\cos(t) \right] \sqrt{(-\sin(t))^2 + (\cos(t))^2} dt \] \[ = \int_0^{2\pi} \left[ 2(\cos(t)-2)(-\sin(t)) + 2\sin(t)\cos(t) \right] dt \] 由于 \(\sqrt{(-\sin(t))^2 + (\cos(t))^2} = 1\)（因為 \(dx/dt\) 和 \(dy/dt\) 是單位向量的分量），我們可以簡化積分： \[ = \int_0^{2\pi} \left[ -2\cos(t)\sin(t) + 4\sin(t) + 2\sin(t)\cos(t) \right] dt \] \[ = \int_0^{2\pi} \left[ 4\sin(t) - 2\cos(t)\sin(t) \right] dt \] 這個積分可以通過直接積分來解決。注意，由于 \(\sin(t)\) 和 \(\cos(t)\) 是周期函數(shù)，且周期為 \(2\pi\)，所以 \(\sin(t)\) 和 \(\cos(t)\) 在一個周期內(nèi)的積分為零。因此，上述積分的結果為零。

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