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試化簡(jiǎn)下列各式：

(1)(a+b+c)×c+(a+b+c)×b-(b-c)×a；
(2)(a-2c)·[(a-b)×(a-b-c)]；
(3)(a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b)．

參考答案： (1) $(a+b+c)×c+(a+b+c)×b-(b-c)×a$ 可以化簡(jiǎn)為： $$ \begin{aligned} (a+b+c)×c+(a+b+c)×b-(b-c)×a &= ac + bc + c^2 + ab + bc - ab + ac \\ &= 2ac + 2bc + c^2 \\ &= c(2a + 2b + c). \end{aligned} $$ (2) $(a-2c)·[(a-b)×(a-b-c)]$ 可以化簡(jiǎn)為： $$ \begin{aligned} (a-2c)·[(a-b)×(a-b-c)] &= (a-2c)·[(a-b)×a - (a-b)×c] \\ &= (a-2c)·[a×(a-b) - b×(a-b) - c×(a-b)] \\ &= (a-2c)·[a^2 - ab - ab + b^2 - ac + bc] \\ &= (a-2c)·[a^2 - 2ab + b^2 - ac + bc] \\ &= a(a^2 - 2ab + b^2 - ac + bc) - 2c(a^2 - 2ab + b^2 - ac + bc) \\ &= a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2c + abc - 2ca^2 + 4abc - 2bc^2 \\ &= a^3 - 3a^2b + ab^2 + 3abc - a^2c - 2bc^2. \end{aligned} $$ (3) $(a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b)$ 可以化簡(jiǎn)為： $$ \begin{aligned} (a×b)·(a×b)+(a·b)(a·b) &= |a×b|^2 + (a·b)^2 \\ &= (ab\sin\theta)^2 + (ab\cos\theta)^2 \\ &= a^2b^2\sin^2\theta + a^2b^2\cos^2\theta \\ &= a^2b^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) \\ &= a^2b^2, \end{aligned} $$ 其中 $\theta$ 是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec$ 之間的夾角。由于 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$，所以最終結(jié)果為 $a^2b^2$。

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