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求函數(shù)z=x2+y2在點(diǎn)（1，2)處沿從點(diǎn)（1，2)到點(diǎn)（2，2+√3)的...

求函數(shù)z=x²+y²在點(diǎn)(1，2)處沿從點(diǎn)(1，2)到點(diǎn)(2，2+√3)的方向的方向?qū)?shù)．

參考答案：首先，我們需要知道函數(shù) \( z = x^2 + y^2 \) 在點(diǎn) \( (x_0, y_0) \) 處沿方向向量 \( \vec{v} \) 的方向?qū)?shù)公式為： \[ D_{\vec{v}}f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \] 其中，\( \nabla f(x_0, y_0) \) 是函數(shù)在點(diǎn) \( (x_0, y_0) \) 處的梯度，而 \( \vec{v} \) 是方向向量，\( ||\vec{v}|| \) 是向量 \( \vec{v} \) 的模。對(duì)于函數(shù) \( z = x^2 + y^2 \)，其梯度為： \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (2x, 2y) \] 在點(diǎn) \( (1, 2) \) 處，梯度為： \[ \nabla f(1, 2) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 2) = (2, 4) \] 接下來，我們需要計(jì)算從點(diǎn) \( (1, 2) \) 到點(diǎn) \( (2, 2 + \sqrt{3}) \) 的方向向量 \( \vec{v} \)： \[ \vec{v} = (2 - 1, (2 + \sqrt{3}) - 2) = (1, \sqrt{3}) \] 方向向量的模為： \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] 因此，單位方向向量為： \[ \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] 現(xiàn)在我們可以計(jì)算方向?qū)?shù)： \[ D_{\vec{v}}f(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = (2, 4) \cdot \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \] \[ D_{\vec{v}}f(1, 2) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} \] 所以，函數(shù) \( z = x^2 + y^2 \) 在點(diǎn) \( (1, 2) \) 處沿從點(diǎn) \( (1, 2) \) 到點(diǎn) \( (2, 2 + \sqrt{3}) \) 的方向的方向?qū)?shù)為 \( 1 + 2\sqrt{3} \)。

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利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：

(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲面x²+y²=2z及平面z=2所圍成的閉區(qū)域．

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單項(xiàng)選擇題

設(shè)函數(shù)f(x，y)=x²y³，當(dāng)x=1，y=-1，Δx=0.01，Δy=-0.01時(shí)，f(x，y)的全微分為()．

A.0.01??
B.0.05??
C.-0.05??
D.-0.01

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