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求曲面∑：3x2+y2-z2=27過直線Γ：（3.1.1)的切平面方程．...

求曲面∑：3x²+y²-z²=27過直線Γ：(3.1.1)的切平面方程．

參考答案：要找到曲面 \(3x^2+y^2-z^2=27\) 在直線 \(\Gamma: (3,1,1)\) 上的切平面方程，我們需要先找到曲面上該點的梯度向量，因為梯度向量在曲面上任意點的方向都是該點處切平面的法向量。首先，我們計算曲面的梯度向量。設曲面方程為 \(F(x,y,z) = 3x^2+y^2-z^2-27\)，則梯度向量為： \[ \nabla F(x,y,z) = \left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right) \] 計算偏導數得： \[ \frac{\partial F}{\partial x} = 6x, \quad \frac{\partial F}{\partial y} = 2y, \quad \frac{\partial F}{\partial z} = -2z \] 因此，梯度向量為： \[ \nabla F(x,y,z) = (6x, 2y, -2z) \] 現(xiàn)在我們需要計算曲面上點 \((3,1,1)\) 處的梯度向量值。將點 \((3,1,1)\) 代入梯度向量中，我們得到： \[ \nabla F(3,1,1) = (6 \cdot 3, 2 \cdot 1, -2 \cdot 1) = (18, 2, -2) \] 這個向量就是曲面在點 \((3,1,1)\) 處的法向量?，F(xiàn)在我們有了法向量和點，可以寫出切平面方程。切平面方程的一般形式為： \[ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \] 其中，\((a,b,c)\) 是平面的法向量，\((x_0,y_0,z_0)\) 是平面上的一個點。將法向量 \((18,2,-2)\) 和點 \((3,1,1)\) 代入，我們得到切平面方程： \[ 18(x-3) + 2(y-1) - 2(z-1) = 0 \] 展開并簡化得： \[ 18x - 54 + 2y - 2 - 2z + 2 = 0 \] \[ 18x + 2y - 2z - 54 = 0 \] 這就是曲面 \(3x^2+y^2-z^2=27\) 在直線 \(\Gamma: (3,1,1)\) 上的切平面方程。

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