【案例分析題】張某是某單位干部，一直單身，居住在流水街50號(hào)。2010年春節(jié)后，張某因病去世，留下銀行存款10萬元、古董字畫若干。張某所在的街道辦事處認(rèn)為，張某無繼承人，未留下遺囑，因此向區(qū)人民法院申請(qǐng)認(rèn)定張某的財(cái)產(chǎn)為無主財(cái)產(chǎn)，區(qū)法院受理后，經(jīng)審查核實(shí)，發(fā)出財(cái)產(chǎn)認(rèn)領(lǐng)公告。因無人對(duì)張某的遺產(chǎn)主張權(quán)利，公告期滿，區(qū)人民法院判決認(rèn)定，張某的遺產(chǎn)為無主財(cái)產(chǎn)。半年后，從外地來了一位年輕人，聲稱是張某的親生兒子，經(jīng)法院審查核實(shí)，該年輕人系張某下放時(shí)的私生子。根據(jù)上述案情，請(qǐng)回答下列各題：如果張某的兒子在公告期間即依法對(duì)財(cái)產(chǎn)提出申請(qǐng)，主張繼承其父親財(cái)產(chǎn)的，人民法院應(yīng)當(dāng)如何處理？（）