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大學試題

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填空題若A^*是6階方陣A的伴隨矩陣，且rank（A）=4，則rank（A^*）=（）。

1.問答題設a₁=[1，2，3]^T，a₂=[2，1，6]^T，a₃=[3，4，a]^T，問a為多少時，a₁，a₂，a₃線性相關？a取值為多少時，a₁，a₂，a₃線性無關？為什么？

2.問答題 設f=X^TAX是n元二次型，有n維實列向量X₁，X₂，使，證明：存在n維列實向量X₀≠0，使X₀^TAX₀=0。

3.問答題指出向量組a₁=[4，3，-1，1，-1]^T，a₂=[2，1，-3，2，-5]^T，a₃=[1，-3，0，1，-2]^T，a₄=[1，5，2，-2，6]^T是否線性相關，并說明理由。

4.問答題指出向量組a₁=[2，2，7，-1]^T，a₂=[3，-1，2，4]^T，a₃=[1，1，3，1]^T是否線性相關，并說明理由。

5.問答題 設H是一個為可約的上Hessenberg矩陣。證明存在一個對角矩陣D使得D^-1HD的次對角元素均為1. 是多少？